2023-2024学年北师大版数学必修第一册讲义第一章3.1不等式的性质 学案（含答案）

3.1　不等式的性质 教学目标 1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象) 2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系． 3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理) 4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算) 5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理) 学法解读 在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异． 基础知识 知识点1　比较两个实数a，b大小的基本事实 文字语言 符号表示 如果a－b是__正数__，那么a＞b，反过来也成立 a＞b __a－b＞0__ 如果a－b等于0，那么a＝b，反过来也成立 a＝b __a－b＝0__ 如果a－b是__负数__，那么a＜b，反过来也成立 a＜b __a－b＜0__ 思考1：(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？ (2)若“b－a＞0”，则a，b的大小关系是怎样的？ 提示：(1)是　(2)b＞a 知识点2　不等式的性质 序号 性质内容 1 如果a＞b，且b＞c，那么__a＞c__ 2 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c 3 (1)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc (2)如果a＞b，c＜0，那么__ac＜bc__ 4 如果a＞b，c＞d，那么__a＋c＞b＋d__ 5 (1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么__ac＜bd__ 特殊地，当a＞b＞0时，__an＞bn__，其中n∈N＋，n≥2 6 当a＞b＞0时，__＞__，其中n∈N＋，n≥2 思考2：(1)性质2的推论实际就是解不等式中的什么法则？ (2)性质3就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？ (3)使用性质5时，要注意什么条件？ 提示：(1)移项法则． (2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向． (3)各个数均为正数． 基础自测 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)若a＞b，则ac2＞bc2．(　×　) (2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　×　) (3)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3．(　√　) (4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d．(　×　) [解析]　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2 a＞b；反之，c＝0时，a＞bac2＞bc2． (2)相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系． (3)符合不等式的可乘方性． (4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c＞b＋d，但不满足a＞b，故此说法错误． 2．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是(　C　) A．a－c＞b－d　　　 B．ac＞bd C．a＋c＞b＋d　 D．a＋d＞b＋c 3．已知a＜0，－1＜b＜0，那么下列不等式成立的是(　D　) A．a＞ab＞ab2　 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2　 D．ab＞ab2＞a [解析]　由－1＜b＜0，可得b＜b2＜1， 又a＜0，∴ab＞ab2＞a，故选D． 4．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系(　C　) A．T＜40　 B．T＞40 C．T≤40　 D．T≥40 5．用不等号“＞”或“＜”填空： (1)如果a＞b，c＜d，那么a－c__＞__b－d； (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac__＜__bd； (3)如果a＞b＞0，那么__＜__； (4)如果a＞b＞c＞0，那么__＜__． [解析]　(1)∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b， ∴a－c＞b－d． (2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．∵a＞b＞0， ∴－ac＞－bd，∴ac＜bd． (3)∵a＞b＞0，∴ab＞0，＞0，∴a·＞b·＞0， ∴＞＞0，∴()2＞()2，即＜． (4)∵a＞b＞0，所以ab＞0，＞0．于是a·＞b·，即＞，即＜．∵c＞0，∴＜． 题型探究 题型一　作差法比较大小 例 1　已知a≠1且a∈R，试比较与1＋a的大小． [分析]　作差 化简 判定差的符号 确定大小关系 [解析]　因为－(1＋a)＝－＝，① (1)当a＝0时，＝0，所以＝1＋a． (2)当a＜1，且a≠0时，＞0，所以＞1＋a． (3)当a＞1 ... ...