2023初升高数学衔接课+练习第一章乘法公式与因式分解(含答案)

第一章 1.1 乘法公式与因式分解 我们知道(a+b) =a +2ab+b ,将公式左边的指数变为3时，又有什么结论呢 由于 (a+b) =(a+b) (a+b)=(a +2ab+b )(a+b) =a +a b+2a b+2ab +ab +b =a +3a b+3ab +b , 因此得到和的立方公式 (a+b) =a +3a b+3ab +b . 将公式中的b全部改为-b，又得到差的立方公式 (a-b) =a -3a b+3ab -b . 上述两个公式称为完全立方公式，它们可以合写为 (a±b) =a ±3a b+3ab ±b . 【例1】 化简: (x+1) -x(x +3x+3). 【解】 (x+1) -x(x +3x+3)=x +3x +3x+1-x -3x -3x=1. 由完全立方公式可得(a+b) -3a b-3ab =a +b ,即 (a+b)[(a+b) -3ab]=a +b , 由此可得立方和公式 (a+b)(a -ab+b )=a +b . 将立方和公式中的b全部改为-b，得到立方差公式 (a-b)(a +ab+b )=a -b . 【例2】对任意实数a，试比较(1+a)(1-a)(1+a+a )(1-a+a )与1的大小. 【解】 (1+a)(1-a)(1+a+a )(1-a+a ) =[(1+a)(1-a+a )][(1-a)(1+a+a )] =(1+a )(1-a )=1-a . 因为 1-a -1=-a ,对任意实数a, -a ≤0,所以 (1+a)(1-a)(1+a+a )(1-a+a )≤1. 通过将完全平方公式(a+b) =a +2ab+b 中的指数2推广到3，我们得到了完全立方公式. 有兴趣的同学可以将指数推广到4，5， .另外，我们也可以从项数的角度推广: (a+b+c) =[(a+b)+c] =(a+b) +2(a+b)c+c =a +2ab+b +2ac+2bc+c =a +b +c +2ab+2bc+2ca. 灵活应用等式(a+b+c) =a +b +c +2ab+2bc+2ca,可以为代数式运算带来方便. 【例3】 已知, 求下列各式的值：a +b +c ; (2) a +b +c . 【解】 (1)(a+b+c) =a +b +c +2ab+2bc+2ca. 由上式和已知得 0=a +b +c -1, 即 a +b +c =1. 由 得 因为a+b+c=0,所以 再由(1)的结论，得 a +b +c +2a b +2b c +2c a =1. 因此 【例4】 已知 x +x-1=0, 求证：(x+1) -(x-1) =8-6x. 【证法 1】 (x+1) -(x-1) =x +3x +3x+1-(x -3x +3x-1) =x +3x +3x+1-x +3x -3x+1 =6x +2. 由已知得x =1-x, 故 6x +2=6(1-x)+2=8-6x. 因此，(x+1) -(x-1) =8-6x. 【证法2】 (x+1) -(x-1) =(x+1-x+1)[(x+1) +(x+1)(x-1)+(x-1) ] =2(x +2x+1+x -1+x -2x+1) =6x +2. 以下同证法1. 习题1.1 1. 若a+b=8, ab=2, 则 a +b = ( ). A.128 B.464 C.496 D.512 2.若x+y+z=0, 则 x +y +z = ( ). A.0 B.x y+y z+z x C.x +y +z D.3xyz 3.设 对于任意 n>0,则A, B大小关系为( ). A. A≥B B. A>B C. A≤B D.不一定 4.(5-x)(25+5x+x )= . 5. 观察下列各式的规律： (a-b)(a+b)=a -b , (a-b)(a +ab+b )=a -b , (a-b)(a +a b+ab +b )=a -b . 可得到 (其中n为正整数). 求函数 y=(x-2) -x 的最大值. 7. 当 时，求代数式 的值. 8.已知a,b, c为非零实数, (a +b +c )(x +y +z )=(ax+by+cz) ,求证： 1.2 因式分解 因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形. 我们已学过两种分解因式的方法：提取公因式法与公式法. 下面我们继续学习一些分解因式的方法. 1.十字相乘 我们知道，形如 x +(p+q)x+pq 的二次三项式，它的特点是二次项系数是 1，常数 pq与一次项系数p+q可以通过如图1.2-1的“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到 x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).这种方法能否推广呢？ 如果要对 2x -7x+3 分解因式，我们把二次项系数2分解为1×2，把常数项 3分解成1×3或(-1)×(-3), 按图 1.2-2至图1.2-5 的运算方式,也用“十字相乘, 乘积相加”验算. 可以发现图 1.2-5对应的结果1×(-1)+2×(-3)=-7,恰好等于一次项系数-7. 由于(x-3)(2x-1)=2x -7x+3, 从而2x -7x+3=(x-3)(2x-1). 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法. 【例1】 将下列各式分解因式： (1)2x +x-3; (2)-6a +7a+5. 【解】 (1) 因为 1×3+2×(-1)=1,恰好等于一次项系数1，所以 2x +x-3=(x-1)(2x+3). 因为 -6a +7a+5=-(6a -7 ... ...