新湘教版高中数学选择性必修·第二册2.4.2第一课时 向量与垂直 课件（共28张PPT）

(课件网) 第1课时　向量与垂直 新知初探·课前预习 题型探究·课堂解透 新知初探·课前预习 教 材 要 点 要点一　向量法判断线线垂直 设直线l1的方向向量为v1＝(x1，y1，z1)，直线l2的方向向量为v2＝(x2，y2，z2)，则l1⊥l2 v1·v2＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 . 批注 　若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直． 要点二　向量法判断线面垂直 设直线l的方向向量为v＝(x，y，z)，平面α的法向量是n＝(a，b，c)，则l⊥α v∥n v＝λn (λ∈R) . 批注 　若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行． 要点三　向量法判断面面垂直 设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 批注 　若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直． 基 础 自 测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．(　　) (2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(　　) (3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．(　　) × √ × 2．若直线l1，l2的方向向量分别为m＝(2，－1，－1)，n＝(1，1，1)，则这两条直线(　　) A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．垂直相交 答案：B 解析：因为m·n＝2×1＋(－1)×1＋(－1)×1＝0， 所以m⊥n，所以l1⊥l2. 3．直线l的方向向量a＝(2，－4，7)，平面α的法向量n＝(－2，4，－7)，则有(　　) A．l∥α B．l α或l∥α C．l与α斜交 D．l⊥α 答案：D 解析：∵a＝(2，－4，7)，n＝(－2，4，－7)， ∴a＝－n，则a∥n，所以l⊥α. 4．已知平面α的一个法向量n＝(2，－2，5)，平面α⊥β，则平面β的一个法向量是_____． (1，1，0) 解析：设平面β的一个法向量为m＝(x，y，z)，因为平面α⊥β，所以n·m＝0，即2x－2y＋5z＝0，取x＝1，y＝1时，z＝0，故平面β的一个法向量为m＝(1，1，0)． 题型探究·课堂解透 题型 1　向量法证明线线垂直 例1　如图，已知正三棱柱ABC -A1B1C1 的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1. 求证：AB1⊥MN. 证明：设AB中点为O，作OO1∥AA1，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O- xyz. 由已知得A(－，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，N(0，)，B1(，0，1)． ∵M为BC中点，∴M(，0)． ∴＝＝(1，0，1)， ＝－＋0＋＝0. ，∴AB1⊥MN. 方法归纳 证明两直线垂直的一般步骤 巩固训练1　已知正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点，求证：A1E⊥BD. 证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为a，则D(0，0，0)，A1(a，0，a)，A(a，0，0)，B(a，a，0)． 设E(0，a，e)(0≤e≤a)． ＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)， ∵·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0， ∴⊥，即A1E⊥BD. 题型 2　向量法证明线面垂直 例2　如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD. 证明：由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D xyz，如图，设DC＝PD＝1， 则P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，E(0，)． 所以＝(1，1，－1)，＝(0，)，＝(1，，－)， 设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，＝(x，y－，z－)． 因为⊥，所以x＋(y－)－(z－)＝0，即x＋y －z＝0.　① 又因为∥，可设＝λ(0≤λ≤1)， 所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.　 ... ...