绵阳市高2015级第一次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． DBDAC BACDA 10题提示：由≥对x∈R恒成立，显然a≥0，b≤-ax． 若a=0，则ab=0． 若a>0，则ab≤a-a2x．设函数，求导求出f(x)的最小值为． 设，求导可以求出g(a)的最大值为， 即的最大值是，此时． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12．-1 13．40 14．3021 15．①③④ 15题提示：①容易证明正确． ②不正确．反例：在区间[0，6]上． ③正确．由定义：得， 又所以实数的取值范围是． ④正确．理由如下：由题知． 要证明，即证明： ， 令，原式等价于． 令，则， 所以得证． 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解：(Ⅰ)2m·n-1 =． ……………………………6分 由题意知：，即，解得．…………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知， ∵ ≤x≤，得≤≤， 又函数y=sinx在[，]上是减函数， ∴ …………………………………10分 ?=．…………………………………………………………12分 17．解：(Ⅰ) 由题知解得，即．……………………3分 (Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2=，此二次函数对称轴为．……4分 ① 若≥2，即m≤-2时， g (x)在上单调递减，不存在最小值； ②若，即时， g (x)在上单调递减，上递增，此时，此时值不存在； ③≤1即m≥-1时， g (x)在上单调递增， 此时，解得m=1． …………………………11分 综上：． …………………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ) ，， 由余弦定理：=52+22-2×5×2×=25， ． ……………………………………………………………………3分 又 ，所以， 由正弦定理：， 得．………………………………………6分 (Ⅱ) 以为邻边作如图所示的平行四边形，如图， 则，BE=2BD=7，CE=AB=5， 在△BCE中，由余弦定理：． 即， 解得：． ………………………………………………………………10分 在△ABC中，， 即．…………………………………………………………………12分 19．解：(Ⅰ) 由， 得：解得：． ∴ ，． …………………………………5分 (Ⅱ) 由题知． 若使为单调递减数列，则 - =对一切n∈N*恒成立， …………………8分 即： ， 又=，……………………10分 当或时， =． ．………………………………………………………………………12分 20．(Ⅰ)证明： 由，得．…………………………1分 由>0，即>0，解得x>lna，同理由<0解得x
1． ∴ 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即， ∴ 当01时，h(a)<0， ∴ 要使得≥0对任意x∈R恒成立， ∴ 的取值集合为 ……………………………13分2015高考英语签约提分，保证最低涨10-40分，不达目标全额退费，详情QQ2835745855,其它各科试题及答案登陆QQ757722345或关注微信公众号qisuen 21．解：(Ⅰ)由得()． 由已知得，解得m=n． 又，即n=2， ∴ m=n=2．……………………………………………………………………3分 (Ⅱ) 由 (Ⅰ)得， 令，， 当x∈(0，1)时，；当x∈(1，+∞)时，， 又，所以当x∈(0，1)时，； 当x∈(1，+∞)时，， ∴ 的单调增区间是(0，1)，的单调减区间是(1，+∞)．……8分 (Ⅲ) 证明：由已知有，， 于是对任意， 等价于， 由(Ⅱ)知，， ∴ ，． 易得当时，，即单调递增； 当时， ... ... 
