第五单元第3讲 平面向量的数量积及其应用-2024年新高考数学一轮复习讲义之讲-练-测

中小学教育资源及组卷应用平台 第五单元第3讲 平面向量的数量积及其应用 讲 讲知识 讲方法 练 练题型 练真题 题型一：数量积的计算 题型二：向量的模 题型三：求两平面向量的夹角 题型四：两平面向量垂直问题 题型五：向量数量积的综合应用 测 测基础 测能力 单选4题 单选4题 多选2题 多选2题 填空2题 填空2题 解答3题 解答3题 一、【讲】 【讲知识】 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 3．平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ 【讲方法】 1.求解平面向量模的方法 ①若a＝(x，y)，利用公式|a|＝. ②利用|a|＝. 2.求平面向量的夹角的方法 ①定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]． ②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝. ③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中． 3.向量数量积综合应用的方法和思想 (1)坐标法． 把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法． 适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解． (3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用． 3.用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤 二、【练】 【练题型】 【题型一】数量积的计算 【典例1】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝_____. 【典例2】已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值为_____. 【典例3】(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝，则||＝_____；·＝_____. 【题型二】向量的模 【典例1】已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝_____，|a－3b|＝_____. 【典例2】若向量a，b满足a＝(cos θ，sin θ)(θ∈R)，|b|＝2，则|2a－b|的取值范围为_____. 【典例3】设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a|＝_____，则当t∈[－，2]时，|a－tb|的取值范围是_____． 【题型三】求两平面向量的夹角 【典例1】已知向量＝(x，1)(x＞0)，＝(1，2)，||＝，则，的夹角为(　　) A． B． C． D． 【典例2】已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 【典例3】已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝_____． 【题型四】两平面向量垂直问题 【典例1】已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为_____． 【典例2】(多选)设a，b是两个非零向 ... ...