第8课时 等比数列的应用 1.理解等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质. 2.能应用等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质解决相关的数列问题. 前面我们共同学习了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式等基本概念,理解了累差法、归纳法、倒序相加法等,今天我们将共同探究等比数列的定义,通项公式,前n项和公式的相关性质及其应用,这些性质在数列中地位重要. 问题1:等比数列通项公式的性质 (1)对任意的m,n∈N+,an=am· ,q= .? (2)若m+n=p+q,则 ,特别地,若m+n=2p,则 .? (3)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列,公比为 .? (4)①数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也是等比数列,公比为 .? ②若{an}为等比数列,公比为q,则{a2n}也是等比数列,公比为 .? ③若{an}为等比数列,公比为q(q≠-1),则{a2n-1+a2n}也是等比数列,公比为 .? ④若{an}、{bn}是等比数列,则{anbn}也是等比数列,公比是两等比数列公比之 .? 问题2:等比数列的前n项和的简单性质 (1)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等比数列,且公比为 (q≠1).? (2)当q≠1时,Sn=Aqn+B(其中A+B= ).? (3)Sn+m=Sm+qmSn(q为公比). 问题3:等比数列的判定方法 (1)定义法:若 =q(q为非零常数且n≥2),则{an}是等比数列;? (2)等比中项法:若an≠0且= (n∈N+),则{an}是等比数列;? (3)通项公式法:若an=c· (c,q均是不为0的常数,n∈N+),则{an}是等比数列;? (4)前n项和公式法:若Sn=k·qn+ (k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.? 问题4:等比数列的单调性 (1)当a1>0,q>1时,等比数列{an}是递 数列;? (2)当a1<0,00,01时,等比数列{an}是递 数列;? (5)当q<0时,等比数列{an}是 数列;当q=1时,等比数列{an}是 数列.? 1.数列9,99,999,9999,…的前n项和等于( ). A.10n-1 B.-n C.(10n-1) D.(10n-1)+n 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2013=3S2012+2014,a2012=3S2011+2014,则公比q等于( ). A.4 B.1或4 C.2 D.1或2 3.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=6,S4=30,则S6= .? 4.已知数列{an}的通项an=2·3n,求由其奇数项所组成的数列的前n项和Sn. Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等比数列的应用 在等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求S4. 等比数列的证明 数列{an}满足:a1=1,a2=,an+2=an+1-an(n∈N+). (1)记dn=an+1-an,求证:{dn}是等比数列. (2)求数列{an}的通项公式. 数列单调性的判断 已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14,且a1,a3,a7恰为等比数列{bn}的前三项. (1)分别求数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn; (2)记数列{anbn}的前n项和为Kn,设cn=,求证:cn+1>cn(n∈N+). 在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n. 在{an}中,a1=1,an+1=,试求数列{an}的通项an. 已知函数f(x)=-x2+7x,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图像上. (1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值; (2)令bn=,其中n∈N+,求{nbn}的前n项和Tn. 1.在等比数列中,an>0且an+2=an+3an+1,则公比q等于( ). A. B. C.3 D.-3 2.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3等于( ). A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3 3.一个等比数列{an}共有2n+1项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则an+1= .? 4.一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数. (2009年·辽宁卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则等于( ). A.2 B. C. D.3 考题变式(我 ... ...
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