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课件网) 第4章 数列 第二课时 等比数列前n项和的性质及应用 课标要求 1.熟练应用等比数列前n项和的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 素养要求 通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养. 问题导学预习教材 必备知识探究 内容 索引 互动合作研析题型 关键能力提升 拓展延伸分层精练 核心素养达成 WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU 问题导学预习教材 必备知识探究 1 一、等比数列前n项和的性质 1.思考 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 2.填空 (1)性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是_____数列. 等比 q 温馨提醒 等比数列前n项和的性质分为三类：第一类是项数的“奇、偶”性，主要描述数列奇数项和与偶数项和之间的关系；第二类是“片段和”性质：一个等比数列依次等项数之和也成等比；第三类是“相关和”性质，即Sn＋m＝Sn＋qnSm.因此，在运用性质时，一定要认清条件适合用哪一条性质，以免出错. 3.做一做 思考辨析，判断正误 √ √ √ × 二、等比数列前n项和的实际应用 1.思考 日常生活中的增长率、利润、利息、浓度匹配、养老保险等问题都与等比数列及其求和知识有关，如何解决这类问题？ 提示 解答这些问题时，应在认真审题的基础上先将问题数学化，然后再函数化，最后数列化，即用数列的知识和方法求解实际问题. 2.填空 (1)解等比数列模型的求和应用题，一是直接运用公式求和；二是由特例入手，归纳总结一般情形，进而建立_____，再求其和；三是寻找递推公式，把它转化为数列的问题. (2)解等差数列、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的_____数列、_____数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列的知识求解.在建模时要明确是求n，an，还是Sn. 等比数列求和的模型 等差 等比 C 3.做一做 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地……”，则该人最后一天走的路程为( ) A.24里 B.12里 C.6里 D.3里 HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG 互动合作研析题型 关键能力提升 2 例1 等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为( ) A.28 B.32 C.21 D.28或－21 A 题型一 等比数列的连续n项之和的性质 解析 ∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列， 即7，S4－7，91－S4成等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2， ∴S4＝28. 迁移1 将例题中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“各项都为正数，Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值. 解 设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列， 迁移2 将例题中条件“S2＝7，S6＝91”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值. 法二 设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97， b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98， b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99， 则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56， ∴b1(1＋q＋q2)＝56. 函数等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1). 思维升华 训练1 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n ... ...
