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课件网) 第3章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的几何性质 第一课时 椭圆的几何性质 课标要求 1.掌握椭圆的简单几何性质.2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形. 素养要求 通过研究椭圆的几何性质，提升数学抽象与数学运算素养. 问题导学预习教材 必备知识探究 内容 索引 互动合作研析题型 关键能力提升 拓展延伸分层精练 核心素养达成 WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU 问题导学预习教材 必备知识探究 1 一、椭圆的简单几何性质 你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？ 椭圆上哪些点比较特殊？ 提示 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b). 2.填空 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) x轴、y轴 2a 2b 原点 (0，1) 温馨提醒 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 二、离心率 1.思考 (1)椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？ (0，1) 3.做一做 若一个椭圆的长轴长与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( ) B 解析 由题意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b， 又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac， 即5e2＋2e－3＝0， HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG 互动合作研析题型 关键能力提升 2 例1 求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标. 题型一 椭圆的简单几何性质 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准方程，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质. 思维升华 (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质. 例2 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程： 题型二 由椭圆的几何性质求方程 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法. 思维升华 训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： 角度1 求离心率 题型三 求椭圆的离心率 ∵b2＝a2－c2，∴(*)式可化简为 3a4－7a2c2＋2c4＝0， 角度2 求离心率的取值范围 迁移1 本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率. 解 由题意，知c>b， ∴c2>b2. 又b2＝a2－c2， 思维升华 课堂小结 1.牢记椭圆的7个性质 2.掌握研究椭圆的几何性质的2种方法 (1)“先定型，再定量”求出椭圆方程，再研究几何性质. (2)求离心率的常用方法. 3.注意1个易错点 忽略对焦点在哪条坐标轴上的讨论. TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG 拓展延伸分层精练 核心素养达成 3 D D BC A.点(－3，－2)不在椭圆上 B.点(3，－2)在椭圆上 C.点(－3，2)在椭圆上 D.无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上 解析 由椭圆的对称性知点(－3，－2)，(－3，2)，(3，－2)均在椭圆上. A 5.椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是( ) C ∴t＝1，∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16. 9.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： ∴a＝3，c＝2. ∴b2＝a2－c2＝9－4＝5. (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 如 ... ...
