新教材 苏教版2019版 数学选择性必修第二册 第6章知识点清单 目录 第6章 空间向量与立体几何 6. 1 空间向量及其运算 6. 2 空间向量的坐标表示 6. 3 空间向量的应用 第6章 空间向量与立体几何 6. 1 空间向量及其运算 一、空间向量的线性运算 1. 空间向量线性运算的意义 =+=a+b， =-=a-b， =λa(λ∈R). 2. 空间向量的加法和数乘运算满足的运算律 (1)a+b=b+a； (2)(a+b)+c=a+(b+c)； (3)λ(a+b)=λa+λb(λ∈R). 3. 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa. 二、空间向量的数量积 1. 空间向量的数量积 设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cos
叫作向量a，b的数量积,记作a·b，即a·b=|a||b|cos. 其中为向量a与向量b的夹角，且0≤≤π. 如果=0，那么向量a与b同向；如果=π，那么向量a与b反向；如果=，那么称a与b互相垂直，并记作a⊥b. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2. 空间向量的数量积满足的运算律 (1)a·b=b·a； (2)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R)； (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 3. 投影向量 (1)对于空间任意两个非零向量a，b，设向量=a， =b(如图)，过点A作AA1⊥OB，垂足为A1. 上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. 与平面向量的情形类似，我们有a·b=·b，即向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积. (2)如图，设向量m=，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量. 我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量m在平面α上的投影向量. 对于平面α内的任一向量n，有m·n=·n，也就是说，空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积. 三、共面向量定理 1. 共面向量：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 任意两个空间向量都是共面向量. 2. 共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p=xa+yb. 推论1：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使=x+y，或对空间任意一点O，有=+x+y. 推论2：空间中的一点P与不共线的三点A，B，C共面的充要条件是存在唯一的有序实数组(x，y，z)使得=x+y+z且x+y+z=1，其中O为空间任意一点. 四、用已知向量表示其他向量 1. 用已知向量来表示其他向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. 2. 要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之 和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. 3. 在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 五、空间向量的数量积及其应用 1. 求空间向量的数量积的方法 (1)利用定义求解：a·b=|a||b|cos； (2)利用a在b上的投影向量m或a在b所在平面上的投影向量n求解， 即a·b=m·b=n·b. 2. 空间向量的数量积的应用 (1)求模：|a|=； (2)求夹角：cos=； (3)证明两向量垂直：a⊥b a·b=0. 六、共面向量定理的应用 1. 判定空间向量共面和空间四点共面的方法 判定向量共面或空间四点共面，可以利用共面向量定理及其推论(详见知识点3)， 也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行判定. 2. 利用共面向量定理证明线面平行 证明AB∥平面α，即证明可由平面α内两个不共线的向量a，b线性表示，即=xa+yb. 6. 2 空间向量的坐标表示 一、空间向量基本定理 1. 空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p=xe1+ye2+ze3. 2. 基底 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示. 我 ... ... 
