中小学教育资源及组卷应用平台 第六单元第2讲 等差数列及其前n项和 讲 讲知识 讲方法 练 练题型 练真题 题型一：等差数列的基本运算 题型二：等差数列的判定与证明 题型三：等差数列项的性质 题型四：等差数列前n项和的性质 测 测基础 测能力 单选4题 单选4题 多选2题 多选2题 填空2题 填空2题 解答3题 解答3题 一、【讲】 【讲知识】 1.等差数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数). (2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. 【讲方法】 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)． 2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 3.判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数． (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1. (3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)． (4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 4.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 5.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)． ②S2n－1＝(2n－1)an. ③依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列． 二、【练】 【练题型】 【题型一】等差数列的基本运算 【典例1】记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( ) A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n 【典例2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，则a10＝( ) A．18 B．16 C．14 D．12 【典例3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S4＝4S2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180(m∈N*)，求m的值． 【题型二】等差数列的判定与证明 【典例1】已知数列{an}中，a1＝，其前n项和为Sn，且满足an＝(n≥2)． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 【典例2】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，且bn＝，n∈N*.求证：数列{bn}为等差数列． 【典例3】已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n. (1)求a2，a3的值； (2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式． 【题型三】等差数列项的性质 【典例1】设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于( ) A．72 B．36 C．18 D．9 【典例2】在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 【典例3】一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝_____． 【题型四】等差数列前n项和的性质 【典例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于( ) A．110 ... ...
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