2023年第二十届中国东南地区数学奥林匹克高一第二天试题（PDF版含解析）

第二十届中国东南地区数学奥林匹克 浙江·温州 高一年级 第二天 2023年 7 月 31日 上午 8:00-12:00 1. 如图， 是半圆 上异于直径的弦， 是线段 的中点. 是一条平行于 的直线，使 得线段 的延长线与 相交于圆外一点 ， , 是 上的两个点， 与半圆 相交于点 ,且 ∠ = ∠ .若点 是 的垂心，证明：直线 与 的交点在半圆 上. 证明：设 BP 与半圆O交于点 E ，连结 AE 并延长交直线 l 于点Q1，我们只要证明M 是 OPQ1的垂心. 连结 AP、AD、DE、DB、BQ1、PM . PCD = DMC ， OCD = OMC，又 COD = MOC， OOCUDV∽ A BC OMC， OC 2 =OM OD ， OA =OC ， OA2 =OM OD，又 AM ⊥OD ， OA⊥ AD ， DA与半圆O相切. DAE = ABE ，PD // AB ， DPE = ABE， DPE = DAE ， D、P、A、E 四点共圆， DA与半圆O相切， DB与半圆O相 切，同理D、Q1、B、E 四点共圆. DPA = DEQ1 = DBQ1 ， PAD = PED = BQ1D ， DOPUAV∽ AD BBCQ1 ， DP DB = ， DP DQ1 = DA DB = DA 2 = DB2 . DA DQ1 2 2 2 2 PQ1 PO 2 = (DP + DQ ) PO 21 = DQ1 + 2DP DQ1 OD 2 = DQ1 + 2DA 2 OD2 2 2 2 = DQ1 + 2DM DO OD 2 = DQ1 + DM (DM +MO)+ DM DO OD 2 = DQ 21 + DM 2 + DM MO MO OD = MQ MO21 ， PM ⊥OQ ，又1 OD ⊥ PQ ，1 M 是 OPQ1 的垂心. 2. 设n为正整数， a a a 0．证明： 1 2 n 2 1 1 1 n k(2k 1) ． a a a 2 2 21 2 n k 1 a1 a2 ak 证明：对 n用数学归纳法证明结论． 2 1 1 当 n 1时，原不等式为 ，显然成立． a1 a 2 1 假设 n m时成立，则当 n m 1时，由归纳假设知 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a a a a a a a a a21 2 m 1 1 m 1 m m 1 m 1 n k(2k 1) 2 2 1 1 ． ① a2 2 2k 1 1 a2 ak a1 am am 1 am 1 由柯西不等式， 1 1 1 2 2 (2 a1 2 am am 1) (2m 1) 2 ， a1 am am 1 故 2 2 1 1 (2m 1)2 a a a 21 m m 1 am 1 2a1am 1 2amam 1 am 1 (2m 1)2 (2m 1)2 (a2 a2 2 2 2 2 2 2 21 m 1) (am am 1) am 1 (a1 am am 1) mam 1 (2m 1)2 2 2 2 m(a1 am am 1) (a 2 2 2 1 am am 1) m 1 (m 1)(2m 1) ， ② a2 2 21 am am 1 其中倒数第二步用到了 ai am 1 0 (i 1, 2, , m)． 由①、②知 n m 1时也成立． 由数学归纳法，结论得证． 3. 称正整数 S 为“育英数”，如果存在正整数 以及2 个正整数 1, 2, … , , 1, 2, … , ， 使得 = ∑ =1 ，且∑ =1( 2 2 ) = 1 , ∑ =1( + ) = 2023，求： （1）最小的育英数； （2）最大的育英数. 解：（1）一方面，令a1 = a2 = a3 = 2，a4 = a5 = … = a1009 = 1，b1 = b2 = b3 = 1，b4 = 3， b5 = b6 = = b1009 = 1，n=1009 满足题设条件，且∑ =1 = 1014 另一方面，因为(ai 1)(bi 1) ≥ 0,1 ≤ i ≤ n， 所以∑ =1 ≥ ∑ =1( + 1) = 2023 . 因为2023 = ∑ =1( + ) ≥ 2 ，所以n ≤ 1011 若n = 1011,则a1, 2, … , , 1, 2, … , 中有 1 个 2，2021 个 1，显然不合题意. 若n = 1010，则∑ =1( 1 + 1)=3，讨论得矛盾。 所以n ≤ 1009, ∑ =1 ≥ 2023 1009 = 1014 （2）一方面，取n = 3, a1 = 1 =, 1006，a2 = 3, a3 = 3, b2 = 4, b3 = 1满足题设条件，且 ∑ =1 = 1006 2 + 15 另一方面，若∑ 2 =1 > 1005 + 23，由柯西不等式有(∑ 2 2 =1 i + 1) (∑ =1 i ) = (∑ 2)(∑ 2) ≥ (Σ )2 ≥ (10062 + 15)2 > (10062 2 =1 i =1 i =1 + 15)(1006 + 15) 所以∑ 2 2 2 2 2 =1 i > 1006 + 15, ∑ =1 i > ∑ =1 i > 1006 + 15 又由(∑ )2 ≥ ∑ 2 > 10062 + 15知∑ =1 =1 =1 ≥ 1007，同理∑ =1 ≥ 1007 所以∑ =1 = 2023 ∑ =1 ≤ 1016 ，∑ =1 ≤ 1016， 由排序不等式，不妨设a1 ≥ 2 ≥ ≥ , b1 ≥ 2 ≥ ≥ ，则1017a1 ≥ ∑ =1 1 ≥ ∑ 2 =1 ≥ 1006 + 2415，得a1 ≥ 900 又10062 + 15 < ∑ 2 ≤ 2 2 =1 1 + (∑ =2 ) ≤ 2 1 + (1016 1) 2，故有a1 ≥ 1006，同 ... ...