中小学教育资源及组卷应用平台 中小学教育资源及组卷应用平台 2024年高考数学一轮复习（新教材新高考） 专题05 基本不等式及其应用 考点要求 考题统计 考情分析 （1）了解基本不等式的推导过程． （2）会用基本不等式解决简单的最值问题． （3）理解基本不等式在实际问题中的应用． 2022年II卷第12题，5分 2021年乙卷第8题，5分 2020年天津卷第14题，5分 高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题． 知识点1 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【解题方法总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 题型一：基本不等式及其应用 【解题方法总结】 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证． 例1．（2023·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知：， 在中，， 所以，即， 故选：C 例2．（2023·全国·高三专题练习）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】x，y都是正数， 由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立； 中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立． 故选：D． 例3．（2023·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值， 此时， 当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误； 对：， 当且仅当，即时取等号， 但，则等号取不到，故的用法有误； 对：，，， 当且仅当，即时取等号，故的用法有误； 故使用正确的个数是0个， 故选：. 题型二：直接法求最值 【解题方法总结】 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 例4．（2023·河北·高三学业考试）若，，且，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】由题知，，，且 因为， 所以， 所以，即， 当且仅当，即时，取等号， 故答案为： 例5．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考 ... ...
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