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课件网) 3.2基本不等式 教学目标 01 02 用基本不等式解决代数式或函数的最值，并会解决一些实际问题 理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确基本不等式成立条件 基本不等式的应用 重点 难点 基本不等式推导过程及成立条件 环节一 重要不等式 情境与问题 2002年8月 20日至28日，第24届国际数学家大会在北京召开，这是第一次在发展中国家召开的数学家大会，也是新世纪第一次数学盛会，本次大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客. 今天的课我们就从这个会标开始. 抽像概括 则AB= 正方形的面积S是 RtΔABF,RtΔBCG,RtΔCDH,RtΔADB是全等三角形,它们的面积总和为 2ab 观察图形S,什么大小关系？ S> , > , 它们有相等的可能性吗？何时相等？ 形 数 当直角三角形变成等腰直角三角形时，即a=b时，正方形EFGH缩成一个点， 当a=b时， 当意实数时，成立吗？ 思考 结论 一般地，对于任意实数a,b,我们有 且仅当a=b时，等号成立，此不等式称为重要不等式 环节二 基本不等式 a换成 b换成 换元 证明 证明不等式 分析 要证 只要证 只要证 只要证 显然是成立的，当且仅当时取等号 基本不等式 若，则 通常写作： 当且仅当时取等号，这个不等式叫做基本不等式，适用范围 在数学中，我们把叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数。 文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 基本不等式几何解释 如图，AB是圆O的直径，O为圆心，点C是AB上一点，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,OD. 如何用表示OD 如何用表示CD？ OD与CD的大小关系怎样？ OD= CD= OD CD 半径不小于弦长的一半 对比 重要不等式 基本不等式 若，则当且仅当=时取等号 拓展 环节三 基本不等式求最值 例1 （1）已知，求最小值。 解： 当且仅当，即取等号。 正 定 等 选题目的 ①本道题在【正】【定】【等】三个环节上，三个环节都俱备； ②从题目的功能上，是求和式的最小值。 例1 （2）已知，求最大值。 解：， 当且仅当，即取等号。 正 定 等 选题目的 ①本道题在【正】【定】【等】三个环节上，难度在【正】上； ②从题目的功能上，是求和式的最大值。一般求和式的最小值。 例1 (3)已知，则最小值。 ≥ 当且仅当时等号成立 正 定 等 选题目的 ①本道题在【正】【定】【等】三个环节上，难度在【定】上； ②从题目的功能上，是求和式的最小值。 例2 若求最大值 解： 当且仅当等号。 的最大值是 正 定 等 选题目的 ①本道题在【正】【定】【等】三个环节上，难度在【定】上； ②从题目的功能上，是积式的最大值。 提炼 应用基本不等式求最值 已知x，y都是正数，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当 时，和x+y有最小值 （2）如果和x+y等于定值S，那么当 时，积xy有最大值 环节四 基本不等式的实际应用 （1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 例3 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为. （1）由已知得.由，可得，所以，当且仅当时，上述等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m. （1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 例3 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为. （2）由已 ... ...
