(
课件网) 第二章 圆锥曲线 3 抛物线 自 主 预 习 互 动 学 习 达 标 小 练 3. 1 抛物线及其标准方程 基础训练 自主预习 相等 点F 直线l 提示：不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F，且垂 直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线. 提示：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物 线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于 1)，定值实现了距离间的转化，为解题带来了方便. 提示：参数p称为焦准距或焦参数，可根据p求出抛物线的焦点坐标和准线 方程；求抛物线的标准方程时，也只需确定参数p及焦点位置. 提示：(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴 上，y是一次项，x是平方项. (2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀： 焦点轴一次项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是 一次项，负时向左正向右. 基础训练 互动学习 [解] (1)抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y，∴p＝2， ∴焦点坐标是(0，1)，准线方程是y＝－1. 抛物线开口向上. (2)抛物线方程的标准形式为y2＝x，∴2p＝. ①当a＞0时，，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是，准线方程是x＝－； ②当a＜0时，，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是，准线方程是x＝－. 综合上述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为，准线方程 为x＝－. a＞0时，开口向右；a＜0时，开口向左. A B －4 解析：(1)由抛物线的方程为x2＝8y知，抛物线的焦点在y轴上，所以 2p＝8，＝2，所以焦点坐标为(0，2)，故选A. (2)如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过 点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B， 则|AB|＝2. 由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l 的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB| ＝6. 故选B. (3)y2＝ax的准线方程为x＝－，解－＝1，得a＝ －4. [解] (1)由题知(－3，2)在第二象限，设抛物线方程为y2＝－2px或x2 ＝2py(p＞0)， 将点(－3，2)代入方程得2p＝或2p＝， 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y. (2)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2， ∴抛物线的焦点坐标为(0，－2). 设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则由＝2，得2p＝8， ∴所求抛物线的方程为x2＝－8y. ②令y＝0，由x－2y－4＝0得x＝4，∴抛物线的焦点坐标为(4，0). 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由＝4得2p＝16， ∴所求抛物线的方程为y2＝16x. 综上，抛物线的方程为x2＝－8y或y2＝16x. (3)由题意可得p＝，则所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y 或x2＝－5y. D 解析：由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0). 设抛物线方程 为y2＝±2px(p＞0)，则，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝ ±4x. 故选D. [解析] 如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是 x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于 点P到F的距离. 于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离 与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为 满足题意的点，此时最小值为. [答案] 4 解析：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1， 则|P1Q|＝|P1F|. 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋ |PF|的最小值为4. 基础训练 达标小练 C 解析：抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，点A到准线的距离为5，根据抛 物线定义可知点A到焦点的距离为5. 故选C. B 解析：抛物线x2＝y中，准线方程为y＝－，由题意知yA＋，得yA＝ ，代入y＝2x2得|xA|＝. 故选B. D 解析：圆x2＋y2－4x＝0化为(x－2)2＋y2＝4，圆心C(2，0)，半径r＝2，设 动圆的圆心为M(x，y)，半径为r，则根据题意r＝|x|≠0 ... ...
