2015年高考理科数学考点分类自测： 立体几何体中的向量方法

2015年高考理科数学考点分类自测：立体几何体中的向量方法 一、选择题 1．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为 (　　) A．10　　　　　　　　　　 B．－10 C. D．－ 2．已知＝(1,5，－2)， ＝(3,1，z)，若 ⊥ ， ＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为 (　　) A.，－，4 B.，－，4 C.，－2,4 D．4，，－15 3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为 (　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 (　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 5.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是 (　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 6.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. 二、填空题 7．已知 ＝(2,2,1)， ＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是_____． 8．在如右图所示的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，正方体的棱长为2，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为_____． 9．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是_____． 三、解答题 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°. (1)证明：平面ADB⊥平面BDC； (2)设E为BC的中点，求 与 夹角的余弦值． 11．已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝，AB＝1， M是PB的中点． (1)证明：平面PAD⊥平面PCD； (2)求AC与PB所成的角； (3)求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值． 12．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°. (1)求证：平面PAB⊥平面PAD； (2)设AB＝AP. (ⅰ)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长； (ⅱ)在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等？说明理由． 详解答案 一、选择题 1．解析：∵α⊥β，∴a·b＝0 ∴x＝－10. 答案：B 2．解析： ⊥ ? · ＝3＋5－2z＝0，∴z＝4. 又BP⊥平面ABC， ∴·＝x－1＋5y＋6＝0，① ·＝3x－3＋y－3z＝0，② 由①②得x＝，y＝－. 答案：B 3. 解析：以D点为原点，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则相关点的坐标为C(0,1,0)，E(，，1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，∴ ＝(，－，1)， ＝(－1，－1,0)． ∴ · ＝－＋＋0＝0. ∴ ⊥ ，即CE⊥BD. 答案：D 4. 解析：分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． ∵A1M＝AN＝a， ∴M(a，a，)，N(a，a， a)． ∴ ＝(－，0，a)． 又C1 (0,0,0)，D1(0，a,0)， ∴ ＝(0，a,0)． ∴ · ＝0，∴⊥ . ∵ 是平面BB1C1C的法向量， 且MN?平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C. 答案：B 5. 解析：以B点为坐标原点，以BC、BA、BB1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2， 则B(0,0,0)，C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0，1)，∴ ＝(0，－1,1)， ＝(2,0,2) ∴cos〈 ， 〉＝ ＝＝.∴EF与BC1所成角为60°. 答案：B 6. 解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)， ＝(a，a,0)， ＝(0,2a,2a)， ＝(a，－a,0)， ＝(0,0,2a)， 设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)， 由??? n1＝(1，－1,1)． sinθ＝＝＝. 答案：C 二、填空题 7．解析：设平面ABC的 ... ...