高考专题训练(三) 函数与方程及函数的应用 A级———基础巩固组 一、选择题 1．函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为( ) A．－2 B．－ C. D．2 解析 由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.故选B. 答案 B 2．函数f(x)＝2x－x－的一个零点所在的区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析 由f(0)＝20－0－<0，f(1)＝2－1－<0，f(2)＝22－2－>0，根据函数零点存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)内，故选B. 答案 B 3．(2014·北京卷)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞) 解析 由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点． 答案 C 4．(2014·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( ) A．{1,3} B．{－3，－1,1,3} C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3 解析 求出当x<0时f(x)的解析式，分类讨论解方程即可．令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x<0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x<0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋>0(舍去)或x＝－2－.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－，1,3}． 答案 D 5．已知函数f(x)＝(k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k的取值范围是( ) A．k≤2 B．－1
0，其中正确的命题为( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 解析 因为f(1)＝2sin1－πln1＝2sin1>0，f(e)＝2sine－π<0，所以x0∈(1，e)，即①正确． f′(x)＝2cosx－，当x∈时，>2，f′(x)<0， 当x＝时，f′(x)＝－2<0， 当x∈时，1<<2，cosx<0，f′(x)<0. 综上可知，f′(x)<0，f(x)为减函数，f(x1)>f(x2)，即f(x1)－f(x2)>0，④正确． 答案 B 二、填空题 7．已知00时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 又因为f(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，f(2)·f(3)<0，所以f(x)在(2,3)内有一个零点． 综上，函数f(x)的零点个数为2. 答案 2 9．(2014·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_____m. 解析 如图所示，△ADE∽△ABC，设矩形的面积为S，另一边长为y， 则＝2＝2. 所以y＝40－x，则S＝x(40－x)＝－(x－20)2＋202， 所以当x＝20时，S最大． 答案 20 三、解答题 10．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝＋2. (1)求函数g(x)的值域； (2)求满足方程f(x)－g(x)＝0的x的值． 解 (1)g(x)＝＋2＝|x|＋2， 因为|x|≥0，所以0<|x|≤1， 即2
