1.3.2 空间向量运算的坐标表示 学案（含解析）

第一章 空间向量与立体几何 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 学案 学习目标 1.掌握空间向量坐标运算公式，并能解决相应问题. 2.掌握平行向量、垂直向量的坐标表示，并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题. 3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式. 知识汇总 1.空间向量运算的坐标表示：设，，则 ；； ，；. 2.空间向量的坐标表示： 平行：当时，，，； 垂直：； 模：； 夹角余弦：. 3.空间两点间的距离公式：设，是空间中任意两点，则，所以.这就是空间两点间的距离公式. 习题检测 1.已知向量，，则( ) A. B. C. D. 2.若向量，，且a与b的夹角的余弦值为，则实数等于( ). A.0 B. C.0或 D.0或 3.如图，在长方体中，，，，分别是上底面、侧面的中心，则，两点间的距离为( ) A.1 B. C. D. 4.已知向量，，，则下列结论正确的是( ) A.， B.， C.， D.， 5.直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱为3，M，N分别为，BC的中点，则( ) A.2 B.-2 C. D. 6.已知，，点在直线上，且，设.若，则的值为( ) A. B. C. D. 7.如图，在直三棱柱中，，，Q为的中点，E为AQ的中点，F为的中点，则异面直线BE与AF所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 8.（多选）已知向量，，，则下列等式中正确的是( ). A. B. C. D. 9.已知，，，的夹角为，则_____. 10.已知，，三点共线，则_____. 11.如图，在直棱柱中，，，，M是的中点，点N在上. （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值； （3）若，求点M，N之间的距离. 答案以及解析 1.答案：A 解析：，故选A. 2.答案：C 解析：由题意得，解得或.故选C. 3.答案：C 解析：以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，故选C. 4.答案：C 解析：因为，所以. 因为，所以，故选C. 5.答案：B 解析：如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，， ，故选B. 6.答案：B 解析：设，则，，，，，，即，，，，.故选B. 7.答案：B 解析：由题可知，在直三棱柱中，AB，AC，两两垂直.以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 可得，，，，， ，所以，，，故选B. 8.答案：BCD 解析：对于A，易得，，，故A不正确； 对于B，左边，右边，故B正确； 对于C，，左边，右边，故C正确； 对于D，由C可得左边，又，所以右边，故D正确.故选BCD. 9.答案： 解析：由题意，知，，. 因为，的夹角为，所以， 得. 10.答案：0 解析：与共线，得，，于是. 11.解析：（1）如图，以C为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 依题意可得，，，，，， 所以，， 所以，从而. （2）因为，， 所以，，， 所以. 因此与所成角的余弦值为. （3）设，则，， 由，得， 所以当时，点N的坐标为， 又，所以. 2 ... ...