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课件网) 数学活动 R·九年级上册 新课导入 导入课题 点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以组成一个点阵. 今天我们就来看看点阵中隐藏了什么有趣的数学规律. (1)通过观察点阵（数学模型），了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律. (2)探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式. (3)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题. (4)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力. 活动目标 推进新课 图1是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……. 观察图形，完成下面各题. · ·· ··· ···· ····· ······ ······· …… 图 1 活 动 1 三角形点阵 ①下表是该点阵前n行的点数和，请你按要求把它填写完整 前n行数 1 2 3 4 5 … 10 … n 点数和 1 3 6 10 15 … … 55 ②若该三角点阵前n行的点数和是300，求行数n. 由①知.前n行的点数和为 ，解得n1=24，n2=-25(舍去)，即行数n为24. ③该三角点阵前n行的点数和能是600吗？如果能，求出其行数n；如果不能，请说明理由. 前n行的点数和 ,解得n1= , n2= ,因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以三角点阵前n行的点数和不能是600. ④如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？ 前n行的点数和为 ⑤在④中，三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明理由. 依题意，n(n+1)=600. 解得n1=24，n2=-25(舍去). 活 动 2 正六边形点阵 如图2 是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，……，依此类推. 图 2 ····· ······ ······· ········ ········· ········ ······· ······ ····· ①填写下表： 层 数 1 2 3 4 … 该层对应的点数 所有层的总点数 1 6 12 18 … 1 7 19 37 … ②第n层所对应的点数为 （n≥2）. ③写出n层正六边形点阵的总点数（n≥2）； 6(n-1) 1+6×1+6×2+…+6(n-1) =1+6· =1+3n(n-1) ④如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？ 1+3n(n-1)=331 化简方程为：n2-n-110=0 分解因式为：(n-11)(n+10)=0 解得：n1=11，n2=-10(舍去)， 所以共有11层. ⑤ 点阵设计大赛： 设计时间：5分钟. 设计要求： a .每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探究提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案. b.每组评选出优秀作品，派代表说明设计的方法及点阵中的规律. 随堂演练 1. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律. （1）下图反映了一个“三角形数”是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式； · ·· ··· ···· · ·· ··· · ·· · ①1=1； ②1+2= ； ③1+2+3= ； ④1+2+3+4= . 3 6 10 （2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式： 。 （3）2015是“三角形数”吗？为什么？ 1+2+3+…+9=45 解：不是.“三角形数”都可以写成 的形式， 令2015= ， 解得n1= ，n2= . 因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以2015不是“三角形”数. （4）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和. 结合（1）观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式. ·· ·· · ··· ··· ··· ···· ·· ... ...
