专题六 函数的基本性质 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 高中数学重难点突破 专题六 函数的基本性质 知识归纳 一、函数的单调性 1、单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2、单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 二、函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为y＝f(x)的最大值 M为y＝f(x)的最小值 三、函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 四、函数的对称性 1、轴对称 对于函数的定义域内任意一个， 图象关于直线对称. 推论1： 的图象关于直线对称. 推论2： 的图象关于直线对称. 推论3： 的图象关于直线对称. 求对称轴方法： 2、中心对称 对于函数的定义域内任意一个， 的图象关于点对称. 推论1：的图象关于点对称. 推论2：的图象关于点对称. 推论3：的图象关于点对称. 求对称中心方法： 小结: 轴对称与中心对称的区别 轴对称：中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)； 中心对称：中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值. 典例分析 题型一、函数单调的判定 【例1-1】函数f（x）的单调递增区间是　　． 【答案】[0，1] 【解析】设t＝2x﹣x2，则y为增函数， 由2x﹣x2≥0，得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]， 函数t＝2x﹣x2的对称轴为x＝1， 要求f（x）的单调递增区间，即求函数t＝2x﹣x2的单调递增区间， ∵t＝2x﹣x2的单调递增区间为[0，1]，∴函数f（x）的单调递增区间为[0，1]， 故答案为：[0，1] 【例1-2】（多选题）关于函数的下列结论正确的是（ ） A．图像关于对称 B．最小值为 C．图像关于点对称 D．在上单调递减 【答案】ABD 【解析】函数图像如图所示， 观察函数图像可得：图像关于 x 1对称，选项 A 正确；最小值为 1，选项 B 正确； 图像不关于点 1, 1 对称，选项 C 错误；在 ,0 上单调递减，选项 D 正确；故选 C. 【例1-3】函数的单调增区间是（ ） A．B． C． D． 【答案】B 【解析】定义域为 恒成立 所以在上单增，在上单增 所以函数的单调增区间是 【例1-4】设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是_____． 【答案】[0,1)　 【解析】由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)． 【变式1】作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【答案】（1）减区间：和，值域：； 减区间：和，增区间：和，值域：； 增区间：和，减区间：，值域：； 减区间：和，增区间：和，值域：； （5）减区间：和，增区间：和，值域：，大致图像见解析 【解析】（1），图象如图一所示： 图一 图二 图三 函数在和为减函数.因为，所以，故值域为：； （2），图象如图二所示： 函数在和为减函数，在和为增函数， 当时，取得最小值，故值域：； （3），图象如图三所示： 函数在和为增函数，在为减函数， 值域为：. （4），图象如图四所示： 图四 图五 函数在和为减函数，在和为增函数.值域为：； （5），图象如图五所示，函数在和为减函数，在和为增函数，值 ... ...