专题十三 三角函数恒等变换 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 高中数学重难点突破 专题十三 三角函数恒等变换 知识归纳 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．两角和的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ (2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ (3)tan(α＋β)＝ 2．两角差的正弦、余弦、正切公式 (1)sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β) (2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β) (3)＝tan(α－β) 二、二倍角公式及其变形公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sinαcosα (2)cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α (3)tan2α＝ 2．降幂公式 (1)sin2α＝； (2)cos2α＝； (3)sin αcos α＝sin 2α. 3．升幂公式 (1)1＋cos α＝2cos2； (2)1－cos α＝2sin2； (3)1＋sin α＝； (4)1－sin α＝. 三、辅助角公式 asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝ 或asinx＋bcosx＝cos(x－θ)，其中cosθ＝，sinθ＝。 典例分析 题型一　给角求值 例1-1、求值：＝(　　) A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 例1-2、 ＝_____． 例1-3、化简：·＝ ． 例1-4、(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)……(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)＝ ． 例1-5、求值：(3＋tan30°tan40°＋tan40°tan50°＋tan50°tan60°)·tan10°． 题型二　给值求值 例2-1、已知cos＝，则sin＝ ，sin 2α＝ ． 例2-2、若sin＝，则cos 等于(　　) A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 例2-3、已知cos＝，<α<，则的值为 ． 例2-4、化简sin2＋sin2－sin2α的结果是_____． 例2-5、若tan α＋＝，α∈，则sin＋cos2α的值为 ． 题型三　给值求角 例3-1、已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，则β＝_____． 例3-2、已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，则β＝ ． 例3-3、在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为(　　) A．　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．或π　　　　　　　　D．或π 例3-4、已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，则2α－β＝_____． 例3-5、已知A，B均为钝角，sin2＋cos(A＋)＝，且sinB＝，则A＋B＝(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 题型四　三角恒等变换 例4-1、化简：＝ ． 例4-2、已知0＜θ＜π，化简：＝_____． 例4-3、化简：··＝_____． 例4-4、(多选题)以下式子均有意义，则下列等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 题型五　三角恒等变换的应用 例5-1、当函数取得最大值时，的值是_____ 例5-2、若则的取值范围是 . 例5-3、如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地， 外的地方种草， 的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若， ，设的面积为，正方形的面积为，当固定， 变化时，则的最小值是_____． 例5-4、已知，为锐角，且，则的最大值是_____. 例5-5、已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－． (1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性． 例5-6、已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 同步练习 1．cos15°－4sin215°cos15°＝(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D． 2．tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于(　　) A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．－1　　　　　　　　D．－2 3．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 4．若α为锐角，3sinα＝tanα＝tanβ，则tan2β＝(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C ... ...