专题十三 圆锥曲线中的最值与范围问题 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 高中数学重难点突破 专题十三 圆锥曲线中的最值与范围问题 典例分析 几何法解决的最值模型 【例1-1】过椭圆＋＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为(　　) A．12　　　　　　　　B．14　　　　　　　　C．16　　　　　　　　D．18 【例1-1】答案　D　解析　由椭圆的对称性可知，P，Q两点关于原点对称，设F′为椭圆另一焦点，则四边形PFQF′为平行四边形，由椭圆定义可知：|PF|＋|PF′|＋|QF|＋|QF′|＝4a＝20，又|PF|＝|QF′|，|QF|＝|PF′|，∴|PF|＋|QF|＝10，又PQ为椭圆内的弦，∴|PQ|min＝2b＝8，∴△PFQ周长的最小值为：10＋8＝18． 【例1-2】已知点F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为_____． 【例1-2】答案　(0，－1)　解析　设椭圆的右焦点为E，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2a－|PE|＝|PQ|－|PE|＋2．当P为线段QE的延长线与椭圆的交点时，|PQ|＋|PF|取最大值，此时，直线PQ的方程为y＝x－1，QE的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P的坐标为(0，－1)． 【例1-3】椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是(　　) A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D． 【例1-3】答案　C　解析　如图所示，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′．因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．此时|MN|＝＝，又c＝＝＝1，所以此时△FMN的面积S＝×2×＝．故选C． 【例1-4】设P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝(　　) A．4　　　　　　　　　　B．5　　　　　　　　　　C．6　　　　　　　　　　D．7 【例1-4】答案　C　解析　由题意得，圆C1：(x＋4)2＋y2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r1＝2；圆C2：(x－4)2＋y2＝1的圆心为(4，0)，半径为r2＝1．设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1(－4，0)，F2(4，0)．如图所示，连接PF1，PF2，F1M，F2N，则|PF1|－|PF2|＝2．又|PM|max＝|PF1|＋r1，|PN|min＝|PF2|－r2，所以|PM| －|PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r1＋r2＝5．又|PM|min＝|PF1|－r1，|PN|max＝|PF2|＋r2，所以|PM|－|PN|的最小值n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－1，所以|m－n|＝6．故选C． 【例1-5】已知点M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是(　　) A．　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2 【例1-5】答案　C　解析　抛物线的准线方程为x＝－，过Q作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为＝． 【例1-6】已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为_____． 【例1-6】答案　　解析　因为(－2)2＜8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|．因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝，故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为． 【例1-7】已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的 ... ...