专题二 立体几何与空间向量解答题解题技巧 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 高中数学重难点突破 专题二 立体几何与空间向量解答题解题技巧 知识归纳 （一）传统方法 一、线线平行的证明方法 利用平行四边形； 利用三角形或梯形的中位线； 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行的性质定理） 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理） 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理） 平行于同一条直线的两个直线平行。 夹在两个平行平面之间的平行线段相等。 二、线面平行的证明方法 定义法：直线和平面没有公共点。 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。（线面平行的判定定理） 两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。 反证法。 三、面面平行的证明方法 定义法：两个平面没有公共点。 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理） 平行于同一个平面的两个平面平行。 经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。 垂直于同一条直线的两个平面平行。 四、线线垂直的证明方法 勾股定理； 2、等腰三角形； 3、菱形对角线; 4、圆所对的圆周角是直角； 5、点在线上的射影； 6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。 7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（三垂线定理） 在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。 五、线面垂直的证明方法： 定义法：直线与平面内的任意直线都垂直； 2、点在面内的射影； 3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。 4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。 5、两条平行直线中的一条垂直于平面，那么另一条必垂直于这个平面。 6、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面。 7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面。 8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。 9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。 六、面面垂直的证明方法： 定义法：两个平面的二面角是直二面角； 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；（面面垂直的判定定理） 如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。 如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。 （二）空间向量方法 一、平行与垂直的判断 1、平行：设的法向量分别为，则直线的方向向量分别为，则： 线线平行∥∥； 线面平行∥； 面面平行∥∥ 2、垂直：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则： 线线垂直⊥⊥； 线面垂直⊥∥； 面面垂直⊥⊥ 二、夹角与距离的计算 1、夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两直线,所成的角为(),； ②直线与平面所成的角为(),； ③二面角─l ─的大小为(), 2、空间距离 点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难, ①点到平面的距离:(定理)如图，设是是平面的法向量，AP是平面的一条斜线，其中则点P到平面的距离 (实质是在法向量方向上的投影的绝对值) ②异面直线间的距离:(的公垂向量为,分别是上任一点). 典例分析 【例1】如下图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE＝2，BF＝ ... ...