2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 4-3 等比数列（含解析）

4.3 等比数列 一、单选题 1．已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据等比数列下标性质，结合等比数列前n项和公式进行求解即可. 【详解】因为等比数列的各项均为正数， 所以由， 当 时，，所以，不符合题意； 当时，由， 或， 因为等比数列的各项均为正数，所以， 故选：B 2．已知三角形的三边构成等比数列，且它们的公比为，则的取值范围是（ ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式及构成三角形边的特点，结合一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】设三边 ，则 由三边关系两短边和大于第三边，即 当时，，等价于解二次不等式， 由于方程两根为和， 解得且， 即 当时，为最大边，即得，解得或且，即， 综上所述，的取值范围为 故选：D. 3．数列满足，则满足的的最小值为（ ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】A 【分析】分类讨论当时得到，当时得到，从而利用等比数列的前项和公式求得，进而得到，解之即可. 【详解】因为当时，，， 所以， 当时，， 所以当时，是以，的等比数列，故， 所以， 故，即， 因为，，所以，即， 所以的最小值为.故选：A. 4．在等比数列中，，，则公比q的值为（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据等比数列定义两式相除即可得出公比q. 【详解】，，得，∴． 故选：A． 5．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设出公比根据题干条件列出方程，求出公比，从而利用等比数列通项的基本量计算求出答案. 【详解】设数列的公比为， 则，得， 解得或（舍）， 所以. 故选：A. 6．已知等比数列满足，，（其中，），则的最小值为（ ） A．6 B．16 C． D．2 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质，得出和的关系，利用基本不等式求出的最小值 【详解】由题意， 在等比数列中，，， 由等比数列的性质，可得，， 当且仅当，时，等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：D. 7．已知数列是等比数列，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质，得到也为等比数列，并求出其基本量，进而可用等比数列求和公式求解即可. 【详解】∵为等比数列，故也为等比数列， 由，又∵，∴的公比满足，则， 而，平方得，， ∴是以为首项，为公比的等比数列，其前项和．故选：B． 8．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前9项的和为（ ） A．1 B．2 C．81 D．80 【答案】C 【分析】由题知，，进而根据等差数列通项公式解得，再求和即可. 【详解】因为，所以，解得. 又，，成等比数列，所以.设数列的公差为， 则，即，整理得. 因为，所以. 所以.故选:C. 二、多选题 9．将数列中的所有项排成如下数阵： …… 已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数成等差数列，且．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则（　　） A． B．在第85列 C．D． 【答案】ACD 【分析】由已知，根据条件，选项A，设第一列数所组成的等差数列公差为d，根据求解公差，然后再求解即可验证；根据数阵的规律，先计算第行共有项，然后再总结前行共有项，先计算前44行共有项，然后用，即可判断选项B；选项D，先计算第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：，然后再根据每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求解通项；选项C，先表示出，，然后可令、，分别判断数列的单调性，求解出对应的最大值与最小值，比较即可判断. 【详解】由已知，第一列数成等差数列，且， 设第一列数所组成的等差数列公差为d，则， 所以，选项A正确； 第一行共有1项，第二行共有3项，第三行共有 ... ...