中小学教育资源及组卷应用平台 角度计算中的经典模型8大题型 【题型1 双垂直模型】 【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°. 【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED. 【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE 同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证. 【例1】（2020秋 铁西区期中）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，求证：∠ACD＝∠B； （2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状？并说明理由？ （3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，点C，B，E在同一直线上，若AB⊥BD，AB＝BD，则CE与AC，DE有什么等量关系，并证明． 【变式1-1】（2021春 盐城期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，F为边BC上一点，连接AF交CE于点G，∠CGF＝∠CFG．求证：AF平分∠BAC． 【变式1-2】（2020秋 丰城市期中）（1）如图①，△ABC是锐角三角形，高BD，CE相交于点H，找出∠BHC和∠A之间存在何种等量关系；并证明你的结论 （2）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，高BD，CE所在的直线相交于点H，请你判断此时（1）中的等量关系是否仍然成立？并说明理由． 【变式1-3】（2021春 庐江县期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE． （1）求证：∠EAB＝∠CED； （2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 （直接写出答案即可）； （3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°） 【题型2 A字模型】 【条件】△ADE与△ABC. 【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C. 【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A， ∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证. 【例2】（2021春 资中县月考）如图所示，△ABC中，∠C＝75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2等于多少度？ 【变式2-1】（2020春 长沙县校级期中）如图，已知∠A＝40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数． 【变式2-2】（2020春 常州期中）如图，△ABC中，∠B＝68°，∠A比∠C大28°，点D、E分别在AB、BC上．连接DE，∠DEB＝42°． （1）求∠A的度数； （2）判断DE与AC之间的位置关系，并说明理由． 【变式2-3】（2020春 新野县期末）旧知新意： 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究： （1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？ 初步应用： （2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝ ； （3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ． 【题型3 8字模型】 【条件】AD、BC相交于点O. 【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和) 【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°， ∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证. 【例3】（2020秋 庆阳期中）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D； 【问题探究】 （2）如图2，直线AP平分△BAO的外角∠FAD，CP平分△OCD的外角∠BCE，若∠ABC＝32°，∠ADC＝22°，求∠P的度数． 【变式3-1】（2021春 江阴市校级月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“ ... ...
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