中小学教育资源及组卷应用平台 高中数学重难点突破 专题七 随机变量及其分布列 知识归纳 1．随机变量 (1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量． (2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示． 2．离散型随机变量 (1)定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． (2)特征： ①可用数值表示． ②试验之前可以判断其出现的所有值． ③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出． 3．离散型随机变量的分布列 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列． 为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②＝1. 4．两点分布 X 0 1 P 1－p p 若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p为成功概率． 5．超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则 P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m， 其中m＝min，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. X 0 1 … m P … 典例分析 【例1】设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a的值； (2)求P. 【例2】一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码． (1)求X的分布列； (2)求X的取值不小于4的概率． 【例3】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数． (1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 【例4】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率； ②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列． 同步练习 午练（基本概念与基础运算） 1．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 2a 3a 则a＝( ) A. B. C. D. 2．若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X
