(
课件网) 第6章 两点间距离公式和线段的中点坐标公式 6.1 直线的倾斜角与斜率 6.2 直线的点斜式和斜截式方程 6.3 直线的一般式方程 6.4 平面上两条直线的位置关系 6.5 平面上两条直线垂直的条件 6.6 点到直线的距离公式 6.7 圆的方程 6.8 直线与圆的位置关系 6.9 直线的方程与圆的方程应用举例 6.10 平面上两条直线垂直的条件 6.6 6.6 平面上两条直线垂直的条件 探索 同学们在初中学习了：“当平面上的两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫作互相垂直.” 如何利用直线的方程来判断两条相交直线是否互相垂直呢？ 设直线l1的方程为A1x+B1y+C1=0（A1,B1不全为0）， 直线l2的方程为A2x+B2y+C2=0（A2,B2不全为0）. 6.6 平面上两条直线垂直的条件 探索 情形1 B1≠0且B2≠0. 直线l1的方程可化成 于是l1的斜率 直线l2的方程可化成 于是l2的斜率 设直线l1与l2相交于点P，l1的倾斜角为α1， l2的倾斜角为α2.不妨设α1是锐角.设l1与x轴相交于点A， l2与x轴相交于点B，如图6-12所示. 在△PAB中，∠PAB=α1,∠PBA=π-α2. 6.6 平面上两条直线垂直的条件 探索 若直线l1与l2互相垂直，则△PAB为直角三角形.于是tan∠PAB= ,tan∠PBA= . 从而tan α1=tan∠PAB = , tan α2=tan(π-∠PBA)=-tan∠PBA= . 因此 又 从而 由此得出 A1A2+B1B2＝0. (1) 6.6 平面上两条直线垂直的条件 探索 反之，若A1A2+B1B2＝0,则两边同时除以B1B2,得 即 从而 于是tan α1·tan α2=-1. 因此tan∠PAB·tan（π-∠PBA）=-1. 即tan∠PAB·（-tan∠PBA）=-1. 从而 tan ∠PAB·tan ∠PBA=1. (2) 6.6 平面上两条直线垂直的条件 探索 根据 ,从（2）式得 cos ∠PAB·cos ∠PBA-sin ∠PAB·sin∠PBA＝0. (3) 根据我们在本套教材的“拓展模块一（上）”的第2章2.1节讲的两角和的余弦公式cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β) ，从（3）式得 cos （∠PAB+∠PBA）=0. (4) 从（4）式得∠PAB+∠PBA= . 由此得出△PAB为直角三角形，因此直线l1与l2互相垂直. 6.6 平面上两条直线垂直的条件 探索 情形2 B1＝0,则A1≠0.从而l1的方程A1x+C1＝0,于是l1是与y轴平行或重合的直线.因此有 l2的方程为B2y+C2＝0 直线l1与l2互相垂直 l2是与x轴平行或重合的一条直线 A1A2+B1B2=0. 6.5 平面上两条直线的位置关系 探索 情形3 B2＝0,则A2≠0.与情形2同理得 直线l1与l2互相垂直 A1A2+B1B2=0. 综上所述，直线l1与l2互相垂直 它们的方程中一次项的对应系数的乘积之和等于零. 即 l1⊥l2 A1A2+B1B2=0. 点评 从上述情形1的推导过程看到： 平面上两条有斜率的直线l1与l2互相垂直 它们的斜率的乘积等于-1. 即 l1⊥l2 k1k2=-1. 6.6 平面上两条直线的位置关系 例1：判断下列各对直线是否互相垂直： （1）直线l1 ：3x-4y+1=0，直线l2 ：4x+3y-5=0; （2）直线l1 ：2x+1=0,直线l2 ：5y-3=0; （3）直线l1 ：y=12x-7,直线l2 ：y=-2x+3. 解： （1）因为3×4+（-4）×3＝0，所以直线l1与直线l2互相垂直. （2）因为2×0+0×5＝0,所以直线l1与直线l2互相垂直. （3）因为直线l1的斜率k1= ,直线l2的斜率k2=-2， 而k1·k2= ×(-2)= -1， 所以直线l1与直线l2互相垂直. 6.6 平面上两条直线的位置关系 例2：求经过点M0（1,-2），并且与直线l1 :3x-y+1=0垂直的直线l2的方程. 解：把l1的方程移项得y=3x+1，因此直线l1的斜率k1=3. 由于l2与l1垂直，因此3·k2＝-1，解得k2= . 又直线l2经过点M0（1，-2），故l2的点斜式方程为 即 x+3y+5=0. 分析：l2与l1垂直，计算出l1的斜率k1，就可求出l2的斜率k2，进而由点斜式方程可求得直线l2的方程. ... ...
