用空间模型解立体几何题（立体几何复习）

立体几何复习方法 立体几何复习 要有准确的空间想象能力，有看图、画图、理解图能力，同时具有必要的逻辑推理能力，运算能力. 利用典型的空间模型复习立体几何 典型的空间模型就是典型的空间环境，利用典型的空间模型可以很顺利地解决高考中大型的立体几何题. 立体几何的概念、法则、定理都是在一定的“几何环境”中形成的，我们把它叫做几何环境，典型的空间模型就是典型的几何环境，许多同学对典型的几何环境理解地不深，他们把它当做佷一般的一道题解，所以在高考出现了很多很多与典型空间模型相关的甚至很难的大型立体几何题的时候，他们也感觉到上不去手. 下面的例题在高考中学生做得并不顺利，其原因就是典型的空间模型认识不足，利用典型的空间模型、熟悉几何环境意识不够.分几部分说： 一、长方体模型 1.长方体中是长方体的对角线，它有几个结论： 　①体对角线长是： 　②体的对角线与一个端点的三条棱所成的角分别为，则 ③考虑四面体是对棱长分别相等的四面体，即，对棱长分别是. 　例1　某四面体异面对棱长分别相等，分别是，求四面体的体积. 　分析：做起来很简单，只要把这个四面体嵌入到棱长分别为的长方体中， 如图，由把看作三个元，解这个三元方程组得： 这样都可以用这个四面体的对棱长来表达. 四面的体积＝长方体的体积－4个三棱锥的体积 所以. 　　　四面体中异面对棱长分别为的四面体的体积的算法———嵌入法.这种方法叫做嵌入法，“嵌入”的意思就是把不容易找到体积的空间图形放到能够嵌住的一个大的长方体，而那个大的长方体的体积是比较好求的.这就是长方体模型的一个利用. 　例2　　如图，三棱锥中，，在△内，，求的度数. 在三棱锥内部嵌入一个长方体，长方体的三个面与三棱锥的三个面是吻合的，这样PM是这个长方体的对角线.根据，可得，从而.如果在图中随便连MC，解△MPC那恐怕不是好办法. 这说明思路不同常常造成解题繁简相差是很大的.我们这个题比较成功的是把长方体嵌到三棱锥里面去，而这个三棱锥是一个大长方体的一个角，以PM为对角线的长方体嵌到三棱锥是完全可能的. 　例3　　四棱锥中，是矩形， ，求PC与BD的成角. 　解：延长AB到E，使AB＝BE，连结EP、EC 所以PC与BD成角为. 长方体模型对于确立起了很大的作用. 二、长方体的“一角”模型 在三棱锥中，，且. ①以P为公共点的三个面两两垂直； ②△ABC是锐角三角形 证明：设 △ABC中 . 所以为锐角，同理也为锐角. ③P在底面ABC的射影是△ABC的垂心 ④三棱锥的高 设直线AH交BC于D点，由于H点一定在△ABC内部，所以D点一定在BC上，连结PD. 在△PAD中， 这个结果也可以这样说：如果在三棱锥中，在底面上作于D，连结PD， 则.或者说：作则.这将来对二面角的平面角有好的影响. ⑤的平面角分别是 . ⑤体积：;⑥它的外接球直径是. 例4　四棱锥中，底面是边长为的正方形，，求的大小. 考虑三棱锥，它就是模型2－长方体的“一个角”.本来我们可以利用…，这儿只要过A作AF，连结BF，于是.则就是二面角A－DE－B的平面角，只要把这个角算出就行.首先△BAF是直角三角形，原因是是直角. 在Rt△BAF中 所以. 我们看到象例4这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体“一角”，做起来就变得很轻松了. 例5　　直二面角中，ABCD是边长为2的正方形（见图）AE＝BE，F为CE上的点，BF⊥面ACE，求D到面ACE的距离. 这是一道高考中的大题.因为D－AB－E是直二面角，BC⊥面ABE，当然面ABCD⊥面ABE，又因为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE. 在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BF在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂直于BF，又有AE＝BE，所以△ABE是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位 ... ...