2024新课标理数高考专题复习--9_4　抛物线及其性质（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024新课标理数高考专题复习 9.4　抛物线及其性质 五年高考 考点1　抛物线的定义及标准方程 1.(2020课标Ⅰ,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9 答案　C　 2.(2022全国乙,5,5分,易)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　　) A.2　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.3 答案　B　 3.(2020北京,7,4分,中)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线(　　) A.经过点O　　　　B.经过点P C.平行于直线OP　　　　D.垂直于直线OP 答案　B　 4.(2023全国乙,13,5分,易)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　　　　. 答案　 5.(2021北京,12,5分,易)已知抛物线C:y2=4x,C的焦点为F,点M在C上,若|FM|=6,则M的横坐标是　　　　. 答案　5 6.(2021新高考Ⅰ,14,5分,中)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为　　　　. 答案　x=- 7.(2022全国甲,20,12分,难)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3. (1)求C的方程; (2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程. 解析　(1)当直线MD垂直于x轴时,|MF|=p+=3,∴p=2,∴C的方程为y2=4x. (2)解法一:设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),直线MN的方程为x=my+1, 由得y2-4my-4=0, Δ1=16m2+16>0恒成立,且y1y2=-4. 由斜率公式可得kMN=,同理kAB=. 直线MD的方程为x=y+2,代入y2=4x中可得y2-y-8=0. Δ2>0且y1y3=-8,所以y3=2y2,同理y4=2y1, 所以kAB=, 又因为直线MN,AB的倾斜角分别为α,β, 所以kAB=tan β=, 若要使α-β最大,则β∈. 设kMN=2kAB=2k,k>0,则tan(α-β)=≤,当且仅当=2k,即k=时,等号成立, 所以当α-β最大时,设直线AB的方程为x=y+n, 由得y2-4y-4n=0, 则y3y4=-4n=4y1y2=-16. 所以n=4,所以直线AB的方程为x-y-4=0. 解法二:由题可知,直线MN的斜率存在. 设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),直线MN:y=k(x-1), 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 所以x1x2=1,则y1y2=-4. 直线MD:y=(x-2),代入抛物线方程可得x1x3=4,同理,x2x4=4. 结合抛物线方程可得y1y3=-8,所以y3=2y2,同理可得y4=2y1, 所以kAB=kMN. 下同解法一. 考点2　抛物线的几何性质 1.(2019课标Ⅱ,8,5分,中)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆=1的一个焦点,则p=(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.8 答案　D　 2.(2017课标Ⅰ,10,5分,中)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　) A.16　　　　B.14　　　　C.12　　　　D.10 答案　A　 三年模拟 1.(2023河南新乡二模,4,易)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在抛物线C上,Q(5,0),若△PQF的面积为4,则|PF|=(　　) A.4　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.2 答案　A　 2.(2022安徽安庆二模,4,易)抛物线y2=4x的焦点为F,点A在抛物线上.若|AF|=3,则直线AF的斜率为(　　) A.±　　　　B.±2　　　　C.　　　　D.2 答案　B　 3.(2022江西赣州二模,6,易)设点P是抛物线C:y2=2px上的动点,F是C的焦点,已知点A(1,1),若|PF|+|PA|的最小值为,则C的方程为(　　) A.y2=x　　　　B.y2=2x　　　　C.y2=3x　　　　D.y2=4x 答案　B　 4.(2022昆明一中、银川一中联考,11,中)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A为C上一点,以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,若∠FBD=30°,△ABD的面积为2,则p=(　　 ... ...