23 最大公约数应用题 班级 姓名 得分 【知识储备】1. 本单元概念较多，内容比较抽象，主要内容有约数和倍数：能被2、5、3 整除 的数的特征；质数和合数；分解质因数；最大公约数，最小公倍数等。重点是求最大 公约数和最小公倍数，而要理解求最大公约数和最小公倍数的方法，就需要使学生 掌握约数、倍数的含义，能被一些数整除的数的特征，分解质因数等知识。小学阶 段教材中只要求掌握这些概念，知道这些概念之间的联系和区别，能够有条理、有 根据地进行思考，并没有涉及到很多应用和综合应用。但这部分数学知识应用范 围还是很广的，是数学中的一项重要基础知识，在数学知识应用中能解决一些特殊 的有趣的式题。 2. 这类应用题比较开放、灵活，既能激发我们的兴趣，又有一定的难度。因此，深刻理解概念，牢固掌握基础知识，是我们解决这类应用题的前提。 【例1】一张长方形的木板，长7分米5厘米，宽6分米，现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形的边长是整厘米数，有多少种裁法 如果要使裁成的正方形面积最大，可以裁多少块 【解析】先统一单位，7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米，因为要裁成的正方形必须能同时整除75厘米和60厘米，所以边长应是75和60的公约数，75和60的最大公约数是15。它们的公约数就有：1、3、5、15,所以有4种裁法。 根据题意，要使正方形面积最大，那么正方形的边长也应该最大。正方形的边 长应是75和60的最大公约数15,所以可以裁(75×60)÷(15×15)=20(块)。 【解答】 因为 所以，75和60的最大公约数是3×5=15 75和60所有的公约数：1、3、5、15。因此，共有4种裁法。 裁成最大正方形的块数：(75×60)÷(15×15)=20(块) 答：有4种裁法，如果要使裁成的正方形面积最大，可以裁20块。 【例2】 两个合数的积是5766,它们的最大公约数是31,求这两个数分别是 多少 【解析】5766是两个合数之积，5766÷31÷31=6,根据最大公约数的定义和求法，6应是两个合数分别除以它们的最大公约数所得的商的积，将6分解成两个数相乘会出现两种情况：1×6和2×3,用分解的两个数去分别乘最大公约数就得到原来的数，但题中这两个数都是合数，所以第一组数是不合题意的，那么这两个合数应是31×2=6231×3=93 【解答】 5766÷31÷31=6,6是两个合数分别除以最大公约数31后的所得的两个商的积。 6=1×6 6=2×3。如果写成1乘6,求出的两个数中有一个是质数31不符合题意，所以只能写成2乘3。 这两个合数分别是：31×2=62 31×3=93 答：这两个合数分别是62、93。 【例3】有一个非零的自然数分别除300、262、205,得到相同的余数，这个自然 数是几 【解析】这三个数都是由两部分组成的， 一部分是所求自然数的倍数，另一部分是 相同的余数，因此，300-262=38,262-205=57,39和57都应是这个自然数的倍数， 所求的自然数就应是它们的公约数，这个公约数也就是300、260、205的公约数。 【解答】 300-262=38 262-205=57 38和57的公约数是19。(1除外不合题意),所以这个自然数是19。 【例4】将一块长3.75米，宽1.05米，高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，当锯成的正方体小木块的棱长是多少时，小木块的体积最大且没有浪费木料 【解析】3.57米=357厘米 1.05米=105厘米0.84米=84厘米。 把一块大长方体木料锯成同样大小的正方体小木块的棱长应是357、105和84 的公约数，因要求正方体小木块的体积最大，所以正方体小木块的棱长应是357、105和84的最大公约数。 【解答】 因为3.57米=357厘米 1.05米=105厘米 0.84米=84厘米 所以，357、105和84的最大公约数是3×7=21。 答：当锯成的正方体小木块的棱长是21 厘米时，小木块的体积最大且没有浪费木料。 1. 有三根铁丝， 一根长15米， 一根长18米， 一根长27米，要把它们截成同样长的 ... ...
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