2024年中考数学核心几何模型重点突破专项训练测试卷 专题14 8字型和反8字型相似模型（教师版＋学生版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题14 8字型和反8字型相似模型 【模型1】8字型模型 如图14-1，要证明∽根据对顶角相等，可知，只需知道，即可知另一组对应角相等。可得∽。 【模型2】反8字型模型 如图14-2，要证明∽根据对顶角相等，可知，只需再知道一组对应角相等即可，即或即可得证∽。 【例1】如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【解析】解：∵AB∥CD， ∴， ∴A选项正确，不符合题目要求； ∵AE∥DF， ∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D， ∴△CEG∽△CDH， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B选项正确，不符合题目要求； ∵AB∥CD，AE∥DF， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴AF=DE， ∵AE∥DF， ∴， ∴； ∴C选项正确，不符合题目要求； ∵AE∥DF， ∴△BFH∽△BAG， ∴， ∵AB＞FA， ∴ ∴D选项不正确，符合题目要求． 故选D． 【例2】如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为_____cm． 【答案】 【分析】如图，过F作于I点，连接FE和FA，得到 设求出FE，AH，AG，证明 得到 最后求值即可． 【解析】如图，过F作于I点，连接FE和FA， ，四边形为正方形， 为BC的三等分点， 为 BC的三等分点， 设 为等腰直角三角形， 为AE的中点， 四边形ABCD为正方形， 故答案为：． 【例3】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB AF，求证：CM AB＝DM CN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC CD=MD CN， 而CD=AB， ∴CM AB=DM CN． 一、单选题 1．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角形面积公式得，，则． 【解析】∵平行四边形ABCD ∴，AD=BC ∵E为边AD的中点 ∴BC=2AE ∵ ∴∠EAC=∠BCA 又∵∠EFA=∠BFC ∴△AEF∽△CBF 如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G， 则， ∴， ∵△AEF的面积为2 ∴ 故选C． 2．如图，在 ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（ ） A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 【答案】A 【分析】根据平行四边形对边互相平行可得，然后求出和相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4，设，，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后表示出的面积，再根据平行四边形的性质可得，然后相比计算即可得解． 【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ... ...