2014年全国中考数学试题分类解析汇编(170套75专题）专题63：探究型之三角形存在性问题

2014年全国中考数学试题分类解析汇编(170套75专题） 专题63：探究型之三角形存在性问题 江苏泰州鸣午数学工作室 编辑 一、选择题 1. （2014年江苏宿迁3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是【 】 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C． 【考点】1.直角梯形的性质；2. 相似三角形的判定和性质；3.分类思想和方程思想的应用． 【分析】由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数： ∵AB⊥BC，∴∠B=90°． ∵AD∥BC，∴∠A=180°﹣∠B=90°. ∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，AD=3，BC=5. 设AP的长为x，则BP长为8﹣x． 若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况： ①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得. ②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6． ∴满足条件的点P的个数是3个. 故选C． 二、填空题 （无） 三、解答题 1．（2014年福建三明14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标； （3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0），∴0=4a﹣2b+4， ∵对称轴是x=3，∴，即6a+b=0， 两关于a、b的方程联立解得， ∴抛物线为． （2）∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，∴BC=MN． ①如答图1，N点在M点右下方，即M向下平移4个单位，向右平移2个单位与N重合． 设M（x，），则N（x+2，）， ∵N在x轴上，∴=0，解得 x=0（M与C重合，舍去），或x=6， ∴xM=6. ∴M（6，4）． ②如答图2，M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合． 设M（x，），则N（x﹣2，）， ∵N在x轴上，∴=0，解得 x=或x=， ∴xM=或． ∴M（，﹣4）或（，﹣4） 综上所述，M的坐标为（6，4）或（，﹣4）或（，﹣4）． （3）点P的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． 【考点】1.二次函数综合题；2.线动平移问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.平行四边形的性质；6.勾股定理；7.全等三角形的性质；8.分类思想的应用． 【分析】（1）解析式已存在，y=ax2+bx+4，我们只需要根据特点描述求出a，b即可．由对称轴为，又过点A（﹣2，0），所以函数表达式易得． （2）四边形为平行四边形，则必定对边平行且相等．因为已知MN∥BC，所以MN=BC，即M、N的位置如B、C位置关系，则可分2种情形，①N点在M点右下方，即M向下平行4个单位，向右2个单位与N重合；②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合． （3）使△PBD≌△PBC，易考虑∠CBD的平分线与抛物线的交点．确定平分线可因为BC=BD，可作等腰△BCD，利用三线合一，求其中线所在方程，进而与抛物线联立得方程组，解出P即可． ∵OC=4，OB=3，∴BC=5． 如果△PBD≌△PBC，那么BD=BC=5， ∵D在x轴上，∴D为（﹣2，0）或（8，0）． ①当D为（﹣2，0）时，如答图3，连接CD，过B作直线BE平分∠DBC交CD于E，交抛物线于P1，P2，此时△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2BD， ∵BC=BD，∴E为CD的中点，即E（﹣1，2）， 设过E（﹣1，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则 ，解得， ∴BE：． 设 ... ...