专题1.5一定是直角三角形吗 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.5 一定是直角三角形吗（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】直角三角形的判定 1．直角三角形的判定 如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 2．利用边角关系判断直角三角形的步骤： （1）．找：找三角形三边中的最长边； （2）．算：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）．判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形． 3．拓展 当两短边平方和大于最长边的平方时，该三角形为锐角三角形；当 当两短边平方和小于最长边的平方时，该三角形为钝角三角形 【知识点2】勾股数 1． 勾股数 满足的三个正整数，称为勾股数，勾股数有多数组 构成勾股数必须同时满足两个条件： （1）三个数都是正整数； （2）两个较小的平方和等于最大数的平方． 2． 判别一组数是否为勾股步骤： （1）．看：看是不是三个正整数； （2）．找：找最大数； （3）．算：计算最大数的平方和两个较小数的平方和； （4）．若两者相等，则这个数是一组勾股数；否则，不是一组勾股数． 【考点一】利用直角三角形的判定进行判断 【例1】 1．已知，，为的三边长，并且满足条件，试判断的形状． 【举一反三】 【变式1】 2．以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．9，12，15 【变式2】 3．如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【考点二】利用勾股定理的定义识别勾股数 【例2】 4．《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　） A．16 B．17 C．25 D．64 【举一反三】 【变式1】 5．下列各组数是勾股数的是( ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】 6．在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中． 则当时，的值为（ ） A． B． C． D． 【考点三】勾股定理及其逆定理进行求角的度数和线段长度 【例3】 7．如图，在四边形中，，，，且，求的度数. 【举一反三】 【变式1】 8．如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm． (1)判断△BCD的形状，并说明理由； (2)求△ABC的周长． 【变式2】 9．已知，如图，，C为上一点，与相交于点F，连接．，． （1）求证：； （2）已知，，，求的长度． 【考点四】勾股定理及其逆定理解决面积问题（弦图问题） 【例4】 10．阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程； 探索研究： (2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； 问题解决： (3)如图2，若，，此时空白部分的面积为_____； (4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【举一反三】 【变式1】 11．问题情境：把四个直角边长 ... ...