24.1垂直于弦的直径 学习目标 1.掌握垂径定理及相关结论. 2.运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题. 重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明、计算和作图问题. 难点：垂径定理及其推论. 学习过程 一、创设问题情境 问题:你知道赵州桥吗 它是1 300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 二、自主学习 自学教材81--82页内容并思考： 垂径定理及其推论的内容的实质是知二推三； 2、通过学习能否用垂径定理和勾股定理等解决一些有关计算和证明. 三、揭示问题规律 （一）圆的轴对称性 1.按照课本“探究”的要求折纸，可以发现折线两侧的半圆 ，所有的折痕都交于一点，这点就是 . 【答案】重合；圆心 2.要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在 . 【答案】圆上 3.如图，点P为⊙O上任意一点，AB为⊙O的任意一条直径，请说明⊙O关于直线AB对称，补全下面的说理过程. 证明：过点P作PM⊥AB于点M，并交⊙O于点P'，连接OP、OP'. 在△OPP'中， ，且PP'⊥AB， ∴ (等腰三角形三线合一)， 即 是PP'的垂直平分线， ∴圆上任意一点P关于直线AB的对称点也在圆上， ∴⊙O关于直线 对称. 【答案】OP=OP'；PM=P'M；AB；AB （二）垂径定理 如图，在⊙O中，弦AB(不是直径)与直径CD垂直，垂足为点E，根据圆的轴对称性，当把⊙O沿CD所在的直线折叠时，点A与点B重合. (1)线段AE与线段BE重合，所以AE BE，即直径CD平分弦AB； (2)与 重合，所以= ，即直径CD平分 ； (3) 与 重合，所以 = ，即直径CD平分 . 思考：直径CD与弦AB有怎样的位置关系 这样的一条直径CD平分了哪些量 答：直径CD与弦AB垂直，直径CD平分了弦AB和弦AB所对的两条弧. 【答案】(1)=；(2)；；；(3)；；；； 四、尝试应用 【例1 】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，EB＝2，求弦CD的长． 解：连接OC，如图所示： ∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE＝DE＝CD，OC＝OA＝OB＝5， ∴OE＝OB﹣EB＝5﹣2＝3， 在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝4， ∴CD＝2CE＝8． 【例2 】赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦）长为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，请求出赵州桥的主桥拱半径（结果保留小数点后一位）． 解：设O为圆心，作OD⊥AB于D，交弧AB于C，如图所示： ∵拱桥的跨度AB＝37.4m，拱高CD＝7.2m， ∴AD＝AB＝18.7m， ∴AD2＝OA2﹣（OC﹣CD）2，即18.72＝AO2﹣（AO﹣7.2）2， 解得：AO≈27.9m． 即圆弧半径为27.9m． 答：赵州桥的主桥拱半径为27.9m 五、自主总结 1.圆的对称性是垂径定理证明的根据； 2.能运用垂径定理和勾股定理进行线段的计算. 达标测试 一、选择题 1.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立是（ ） A．弧AC＝弧AD B．弧BC＝弧BD C．OE＝BE D．CE＝DE 2.如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是( ) A. B. C. D. 3.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4.直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（ ） A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米 5.在半径为5 cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，则AB和CD的距离是( ) A.7 cm B.1 cm C.7 cm或4 cm D.7 cm或1 cm 二、填空题 6.在⊙O中，弦AB＝8，圆心O到AB的距离为2，则⊙O的半径长是 ． 7.如图，在平面直角坐标系中，圆的半径 ... ...
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