2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 本卷满分为150分，考试时间为120分钟 题号 一 二 三 总分 15 16 17 得分 一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。 1．已知集合，集合，映射表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则以为坐标的点组成的集合有元素（ ）个。 A．2 B．4 C．6 D．8 2．设为△的边的中点，为△内一点，且满足：，则（ ）。 A. B. C. D. 3．在点O处测得远处质点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得，则 （ ）。 A． B． C． D． 4．已知当时，函数取最大值，则函数图象的一条对称轴为 （ ）。 A． B． C． D． 5．已知是函数 的一个零点，是函数 的一个零点，则的值为（ ）。 A．1 B．2008 C． D．4016 6．函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调函数，②存在使在上的值域为，那么就称为“好函数”。现有是“好函数”，则的取值范围是 （ ）。 A． B． C． D． 7．如图，一个棱长为的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（ ）。 A． B． C． D． 8．若为完全平方数， 则正整数n满足 （ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。 得分 评卷人 9．已知向量满足，若，则 . 10．若数列中任意连续三项和都为正数，任意连续四项和都为负数，则项数的最大值为 . 11．如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1 截去几个角后的多面体的三视图， 在这个多面体中，AB=4,BC=6, CC1=3.则这个多面体的体积为 . 12．把一根长为7米的铁丝截下两段（也可以直接截成两段），这两段的长度差不超过1米，分别以这两段为圆的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为 平方米 。 13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个子数列中，由1开始的第2008个数是 . 14．设，则函数的最小值为_____ . 三、解答题：本大题共3小题，共54分。 15．（本小题16分）已知函数. （1）求函数单调递增区间； （2）若，不等式的解集为B，，求实数的取值范围。 16．(本小题满分18分) 设,若,,. （1）求证：方程在区间（0，1）内有两个不等的实数根； （2）若都为正整数，求的最小值。 17．（本小题20分）在平面上有一系列点…，，对每个正整数,以点为圆心的⊙与轴及射线都相切，且⊙与⊙彼此外切．若,且 （）． （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设数列的各项为正，且满足， 求证： （3）对于（2）中的数列,当时，求证： 2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（解答） 本卷满分为150分，考试时间为120分钟 题号 一 二 三 总分 15 16 17 得分 一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 评卷人 答案 1．已知集合，集合，映射表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则以为坐标的点组成的集合有元素 （ C ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】显然，∴有6组解，有6个元素，选C。 2．设为△的边的中点，为△内一点，且满足,，则 （ C ） A. B. C. D. 【分析】如图∴ 四边形DPEB为平行四边形，，选C。 3．在点O处测得远处质点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得，则 （ B ） A． B． C． D． 【分析】如图延长OB到D，使得BD=OB，则四边形OADC ... ...
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