3.6 圆内接四边形 数学（浙教版） 九年级 上册 第3章 圆的基本性质 学习目标 1．理解并掌握圆内接四边形的定义及性质； 2．能灵活运用圆内接四边形的性质解决相关问题； 温故知新 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半； 圆周角定理 温故知新 圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. A1 A2 A3 圆周角和直径的关系 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°. 讲授新课 知识点一 圆的内接四边形 探究1：过四边形的4个顶点能画一个圆吗？ 过四边形的4个顶点不一定能画一个圆。 C A B O D1 D3 如图，四边形ABCD1、四边形ABCD2的4个顶点不能画一个圆， 但是，四边形ABCD3的4个顶点可以。 D2 讲授新课 探究2：如图，四边形的ABCD3的四个顶点都在?O上，请类比三角形，描述四边形ABCD3与?O的关系？ ? C A B O D3 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}三角形的3个顶点确定一个圆 四边形的4个顶点都在同一个圆上 这个圆叫做三角形的外接圆 这个三角形叫做圆的内接三角形 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}三角形的3个顶点确定一个圆 四边形的4个顶点都在同一个圆上 这个圆叫做三角形的外接圆 这个圆叫做四边形的外接圆 这个三角形叫做圆的内接三角形 这个四边形叫做圆的内接四边形 讲授新课 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 eg：如图，四边形ABCD是?O的内接四边形， ?O是四边形ABCD的外接圆。 ? C D A B O 讲授新课 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. 探究性质 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为： ∠A+ ∠C=180?， ∠B+ ∠D=180? 思考：如何证明你的猜想呢？ ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°. 推论：圆的内接四边形的对角互补. 讲授新课 C O D B A ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， E 延长BC到点E，有 ∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 图中∠A与∠DCE的大小有何关系？ 推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 讲授新课 典例精析 【例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数. 解：∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠B+∠ADC=180° ∴∠ADC=180°-∠B=180°-110°=70° ∵∠ADE+∠ADC=180° ∴∠ADE=180°-∠ADC=180°-70°=110° 讲授新课 解：设∠A，∠B，∠C的度数分别等于2x，3x，6x. 【例2】在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6. 求这个四边形各角的度数. ∵ 四边形ABCD内接于圆， ∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°， ∵ 2x+6x=180°， ∴ x = 22.5°. ∴ ∠A = 45°， ∠B = 67.5°， ∠C =135°， ∠D =180°-67.5°=112.5°. 讲授新课 练一练 1、如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD＝_____度． 解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠B＋∠ADC＝180°. ∵四边形OABC为平行四边形， ∴∠AOC＝∠B. 又由题意可知∠AOC＝2∠ADC. ∴∠ADC＝180°÷3＝60°. 连接 OD，可得 AO＝OD，CO＝OD. ∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC. ∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°. 60 讲授新课 2、如图，在⊙O的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是 ( ) A．120° B．100° C．80° D．60° 解析：∵∠BOD＝120°， ∴∠A＝60°， ∴∠C＝180°－60°＝120°. 故选A. A 讲授新课 知识点二 圆的内接四边形性质 性质1：圆内接四边形的对角互补。 eg：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。 C D A B 除了这个性质，还有什么其他性质呢？ 讲授新课 【思考】如下图 ... ...
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