9.3 数学探究活动得到不可达两点之间的距离 练习——2023-2024学年高中数学人教B版（2019）必修第四册（含解析）

9.3 数学探究活动得到不可达两点之间的距离 练习 一、单选题 1．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是(　　) A．5 B．10 C．10 D．10 2．如图，在地面上共线的三点处测得一个建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且，则建筑物的高度为（ ） A． B． C． D． 3．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为11000，速度为50.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为（，）（ ） A．3650 B．4650 C．5650 D．7350 4．如图所示，两地之间有一座山，汽车原来从地到地需经地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶，已知，，，则隧道开通后，汽车从地到地比原来少走（结果精确到；参考数据：，） A． B． C． D． 5．甲船在岛正南方向的处，以每小时4千米的速度向正北方向航行，千米，同时乙船自岛出发，以每小时6千米的速度向北偏东60°方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为（ ） A．分钟 B．分钟 C．21.5分钟 D．2.15小时 6．如图，两点在河的两岸，在河岸测量两点间的距离有下列四组数据，较适宜测量的数据是（ ） A． B． C． D． 7．某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶到其正上方点的距离，他站在地面处，利用皮尺测得，利用测角仪器测得仰角，测得仰角后通过计算得到，则的长度为（ ） A． B． C． D． 8．某船在海平面处测得灯塔在北偏东60°方向，与相距6千米处该船由处向正北方向航行8千米到达处，这时灯塔与船相距（ ） A．千米 B．千米 C．6千米 D．8千米 二、填空题 9．如图，是海平面上的两个点，相距，在点测得山顶的仰角为45°，，又在点测得，其中点是点在海平面上的射影，则山高为 . 10．如图，某山上原有一条笔直的山路，现在又新建了一条索道，小李在山脚处测得，从处攀登400米后到达处，在处测得，从处再攀登800米到达处，则索道的长度为 米. 11．如图，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，则两景点与的距离为 ． 12．如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进mkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件 时，该船没有触礁危险． 参考答案 1．C 【详解】如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度． 在△ABB′中，∠B′＝30°， ∠BAB′＝75°－30°＝45°， AB＝10 m， 由正弦定理，得 BB′＝＝＝10 (m)． ∴坡底延伸10 m时，斜坡的倾斜角将变为30°． 2．D 【解析】设建筑物的高度为，根据已知将用表示，在和中，用余弦定理结合，得到关于的方程，即可求出结论. 【详解】设建筑物的高度为，由题图知， ，，， 在和中，分别由余弦定理的推论，得 ①， ②， 因为， 所以③， 由①②③，解得或（舍去）， 即建筑物的高度为. 故选:D. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，考查计算求解能力，属于中档题. 3．A 【分析】如图，设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，在中，利用正弦定理求得，在中，解直角三角形即可的解. 【详解】解：如图，设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，则，所以， 在中，， 由正弦定理得， 则， 因为，所以， 所以山顶的海拔高度大约为. 故选：A. 4．A 【解析】由已知得，利用正弦定理求出，即可求解. 【详解】， ， 由正弦定理得 ， . 故选:A. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查 ... ...