2.7抛物线及其方程 练习（含解析）

2.7抛物线及其方程 练习 一、单选题 1．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 2．已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（ ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 4．若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D． 5．点为抛物线上任意一点，点为圆 上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（ ） A．2 B． C．3 D． 6．抛物线的准线方程是（ ） A． B． C． D． 7．如图，过双曲线（，）的左焦点且与曲线相切的切线，设切点为Q，延长交曲线于点N，其中曲线与有一个共同的焦点，若点Q为线段的中点，则曲线的离心率的为（ ） A． B． C． D． 8．顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(－4，5)的抛物线方程为（ ） A．y2＝x B．y2＝－x C．x2＝y D．x2＝－y 二、多选题 9．已知抛物线C：的准线为，直线与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（ ） A．当时，以AB为直径的圆与相交 B．当时，以AB为直径的圆经过原点O C．当时，点M到的距离的最小值为2 D．当时，点M到的距离无最小值 10．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（ ） A． B．若，则M到x轴距离为4 C．若，则 D．的最小值为4 11．在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（ ） A．当时，的最小值为3 B．当时，的最小值为4 C．当时，的最大值为1 D．当轴时，为定值 12．已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 13．动点到点的距离与点到轴的距离差为，则点的轨迹方程为 . 14．已知抛物线，圆，若点，分别在，上运动，且设点，则的最小值为 . 15．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，若椭圆的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则椭圆的标准方程为 ． 16．已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点，若，则直线的斜率为 . 四、解答题 17．如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网． (1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程； (2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）． 18．若动点到定点与定直线的距离之和为4. （1）求点的轨迹方程，并画出方程的曲线草图； （2）记（1）得到的轨迹为曲线，问曲线上关于点（）对称的不同点有几对？请说明理由. 19．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是拋物线的焦点，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，求证：. 参考答案 1．C 【分析】过点作准线的垂线，垂足为．过点作直线的垂线，垂足为，由条件得，求出，即可求出直线的方程与抛物线联立，即可求出的坐标，则表示出的面积代入即可得出答案. 【详解】依题意作图．抛物线的准线方程为，过点作准线的垂线， 垂足为．过点作直线的垂线，垂足为，由条件得， 设，则，， 直线的方程为：，由于点在抛物线上，， 解得或（不符合题意，舍）， ，所以， ． 故选：C． 2．C 【分析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解. 【详解】，， 因为点到的准线的距离为，所以，得． 故选：C 3．C 【 ... ...