第 3 章 指数函数、对数函数和幂函数 第1课时 分数指数幂 教学过程 一、 问题情境 33=27 3=; x2=3 x=±;当n为奇数时,xn=a(n>1, n∈N*) x=;当n为偶数时,xn=a(n>1, n∈N*) x=±(a>0). 二、 数学建构 (一) 生成概念 问题1 如果x2=a,那么x称为a的什么 如果x3=a,那么x称为a的什么 [1] 问题2 在“当n为奇数时,xn=a x=”中,x称为什么 称为什么 x可以是分数甚至无理数么 [2] 问题3 观察下列变形:=210 =25=; =. 通过讨论,给出根式的定义和分数指数幂的定义. 1. 如果xn=a(n>1,且n∈N*),那么称x为a的n次实数方根.叫根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数. 2. 如果xn=a,且n为奇数,那么x=.如果xn=a,且n为偶数,a>0,那么x=±. 3. 设a>0, m, n均为正整数,则=, =. (二) 理解概念 1. 0的n次实数方根等于0. 2. 0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂无意义. 3. 指数幂的概念从整数指数推广到有理数指数,对于有理数指数幂,原整数指数幂的运算性质保持不变. 分数指数幂的运算性质: (1) aras=ar+s(a>0, r, s∈Q); (2) =ar-s(a>0, r, s∈Q); (3) =ars(a>0, r, s∈Q); (4) (ab)r=arbr(a>0, b>0, r∈Q). 三、 数学运用 【例1】 (教材P60例1)求下列各式的值: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . (见学生用书课堂本P33) [处理建议] 指导学生熟练掌握根式的化简和计算. [规范板书] 解 (1) =5. (2) =-2. (3) ==2. (4) ==π-3. [题后反思] 先对根号里面作简单处理,其实还可以运用如下性质解决问题:= 变式 设-30): (1) a2; (2) . (见学生用书课堂本P34) [处理建议] 根式化为分数指数幂的时候要注意化简顺序. [规范板书] 解 (1) a2=a2==. (2) ====. [题后反思] 先将根式化成分数指数幂的形式,再利用分数指数幂的运算性质进行运算. 【例4】 (教材P63习题3.1(1)第6题)若a+a-1=3,求-及-的值. (见学生用书课堂本P34) [处理建议] 把a+a-1=3看成一个整体进行化简计算. [规范板书] 解 (1) =a+a-1-2=3-2=1,所以-=±1. (2) -==4=±4. [题后反思] 要熟练运用立方和(差)公式. 【例5】 利用指数幂的运算法则,解方程43x+2=256×81-x.(见学生用书课堂本P34) [处理建议] 这是一道分数指数幂与方程类型的题目,首先利用分数指数幂的性质将方程两边转化为同底的指数幂. [规范板书] 解 由题意得26x+4=28×23-3x, 26x+4=211-3x, ∴ 6x+4=11-3x, ∴ x=. [题后反思] 解方程时需化成同底数幂进行运算. 变式 解方程:2x+2-6×2x-1-8=0. [处理建议] 把2x看做一个整体. [规范板书] 解 由题意得4×2x-3×2x-8=0, ∴ 2x=8, ∴ x=3. [题后反思] 对于复杂的方程,我们要想办法使之简化,其中“整体”的思想很重要. *【例6】 已知a2x=-1,求的值. [处理建议] 利用立方和公式先化简,再求解. [规范板书] 解 =a2x+a-2x-1=-1+-1=-1++1-1=2-1. 四、 课堂练习 1. 27的平方根是±3,立方根是3. 2. 等式 =成立的条件是x≥2. 3. 化简:++(a<0, b<0). 解 ∵ a<0, b<0, ∴ 原 ... ...
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