第 3 章 空间向量与立体几何 第1课时 空间向量及其线性运算 教学过程 一、 问题情境 必修4教材第59页,有这样一个情境:湖面上有三个景点O,A,B,一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B. 问题1 游客的实际位移是什么 可以用什么数学概念来表示 解 是向量,即+=. (图1) (图2) 问题2 如果游客还要到景点B下100m深处的海底世界D处游玩,游客实际发生的位移是什么 还是向量吗 它与上面的位移向量相同吗 为什么 生:不同,因为O,A,B,D不在同一个平面内. 师:这就是我们今天要学习研究的内容———空间向量.(点题) 师:回忆一下平面向量的相关知识点,告诉我空间向量应该学习那些内容 用什么方法 二、 数学建构 问题3 空间向量与平面向量的相同点与不同点有哪些 [1] 1.概念梳理 平面向量 空间向量 定义 既有大小又有方向的量 表示法 几何表示: 字母表示:a, 向量的模 向量的大小 相等向量 方向相同且大小相等的向量 相反向量 方向相反且大小相等的向量 单位向量 模长等于1的向量 2.空间向量的线性运算(类比平面向量的线性运算) (图1) 加法:a+b=+=; 减法:a-b=-=; 数乘:λa=(λ∈R). 3.空间向量的运算律(类比平面向量的运算律) (图2) (1)加法交换律:a+b=b+a; (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c); (3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb(λ∈R). 4.共线(平行)向量 (1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 记作:a ∥b. 规定:零向量与任意向量共线. (2)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λa. 三、 数学运用 【例1】 (教材第82页例1)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量. (1)+;(2)++; (3)--.[2] (见学生用书P49) (例1) [规范板书] 解 (1)+=. (2)因为M是BB1的中点,所以=.又=,所以++=+=. (3)--=-=. 向量,,,如图所示. 变式 (1)++…+= ; (2)++…++= 0 . [题后反思] 注意:若有多个向量参与运算,按照“尾首相接,首尾相联”的原则进行运算. 【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是上底面A1B1C1D1的中心.若=m+n+,求m,n的值.[3] (见学生用书P50) (例2) [处理建议] 引导学生将问题转化为向量如何用向量,,表示,即可求得m,n的值. [规范板书] 解 因为点E是上底面A1B1C1D1的中心,所以=(+)=(+)=+.又因为+=,所以m=n=. [题后反思] 逆向思维及转化思想是解决数学问题常用的方法. 【例3】 设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=e1+ke2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,求实数k的值. (见学生用书P50) [处理建议] A,B,D三点共线即=λ,转化为向量共线问题进而求得k的值. [规范板书] 解 =5e1+4e2,=-e1-2e2,故=+=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.∵A,B,D三点共线,∴=λ,即e1+ke2=λ(6e1+6e2).∵e1,e2是不共线的向量,∴ ∴k=1. [题后反思] 点共线问题可转化为向量共线问题来求解,再充分运用向量共线的充要条件“a=λb”和向量运算法则来解题. 四、 课堂练习 1.化简:+++= 0 . 2.下列等式中正确的有 ⑤ . ①0+a=a;②0·a=0;③3·0=0;④a-a=0;⑤|0|=0. 3. 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,G为△A1BD的重心.设=a,=b,=c,试用a,b,c表示. (第3题) 解 =+=+(+)= +(-)+(-)=++=a+b+c. 五、 课堂小结 1.本节课的主要学习内容为空间向量的基本概念、线性运算及其运算律. 2.学习过程中运用类比的思想,掌握平面向量与空间向量的异同点. 第2课时 共面向量定理 教学过程 一、 问题情境 问题1 在平面向量中,向量b与向量a(a ≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得b=λa.那么,空间中任意一个向量p与两个不共线向量a,b共面时,它们之间存在怎样的关 ... ...
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