河南省郑州市中牟县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（扫描版含答案）

2023-2024 学年上期期中考试 高中二年级数学试题参考答案及评分标准 一、二选择题（每小题 5分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D B C B C B BCD BC AC BC 三、填空题（每小题 5分，共 20 分） 13. 4 14. 4 15. 1 16. y 3x 四、解答题（第 17 题 10 分，第 18、19、20、21、22 题每小题 12 分，共 70 分） 17.解：设直线 l的倾斜角为 (0 ) ………………1分 cos 2 5 tan 1 ， ………………2分 5 2 直线 l过点 A(1, 4) l y 4 1 直线 的方程为 (x 1)，即 x 2y 9 0 ………………4分 2 直线 l1与 l平行 1 可设直线 l1的方程为 y x m ………………5分2 令 y 0得 x 2m，令 x 0得 y m ………………6分 1 故三角形的面积 S 2m m 1 2 m2 1，解得m 1 ………………8分 1 1 ∴直线 l1的方程是 y x 1或 y x 12 2 即直线 l1的方程是 x 2y 2 0或 x 2y 2 0 ………………10分 x2 y2 b 18. 解：（1）双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的渐近线为 y x， ………………1分a b a 2 将点 2, 3 b代入得 y x b 3，于是a a2 ， ………………3分4 2 2 2 2 c a 2 3 c2 7 因为 c a b ，所以 ，得 ， ………………5分 a2 4 a2 4 所以双曲线的离心率 e c 7 . ………………6分 a 2 （2）抛物线 y2 4 7x的准线为 x 7 . ………………8分 因为双曲线的一个焦点在抛物线 y2 4 7x的准线上，所以 c 7， ………………9分 c2 7 又因为 ，所以 a22 4， b 2 3， ………………11分 a 4 高中二年级上期期中考试数学试题参考答案 第 1页 共 4页 x2 y2 故双曲线的方程为 1 . ………………12分 4 3 1 19.（1）证明：取 PC上一点Q，使 PQ PC，连接MQ、BQ， ………………1分 4 1 1 由题知 PM PD，所以MQ //CD，MQ CD． ………………2分 4 4 1 又因为 AB//CD， AB CD，所以 AB//MQ， AB MQ， ………………3分 4 所以四边形 ABQM 为平行四边形，所以 AM //BQ． ………………4分 因为 AM 平面 PBC， BQ 平面 PBC， ………………5分 所以直线 AM //平面 PBC． ………………6分 （2）解：因为PD 平面 ABCD， AD CD， 以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为 x、 y、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以D 0,0,0 、 A 3,0,0 、 B 3,1,0 、C 0, 4,0 、P 0,0,4 ， ………………7分 设平面PBC的法向量为 n x, y, z ，CB 3, 3,0 ，CP 0, 4, 4 ， n CB 3x 3y 0 则 ，取 y 1，则 n 3,1,1 ， ………………9分 n CP 4y 4z 0 易知平面BCD的一个法向量为m 0,0,1 ， ………………10分 cos m, n m n 1 5所以， 分 m n 5 5 . ………………12 由图可知，二面角 P BC D的平面角为锐角，故二面角 P BC D 5的余弦值为 . 5 1 20. 解：（Ⅰ）由题意，过M 点的直径所在直线方程为 y 3 x 1 ………………2分 3 y 3 1 x 1 3 x 4 解得 ， ∴圆心坐标为 4,2 1 ………………4分 y x y 2 2 r 2 2 2半径 4 1 2 3 10 ………………5分 2 2 ∴圆C的方程为 x 4 y 2 10 ………………6分 （Ⅱ） ∵以MN为直径的圆过原点，∴OM ON ………………7分 又 kOM 3 ∴ k 1 ON ………………8分3 1 ∴直线ON方程为 y x ………………9分 3 高中二年级上期期中考试数学试题参考答案 第 2页 共 4页 y 1 x 由 3 ，可得N点坐标为 3, 1 ………………11分 x 4 2 2 y 2 10 MN y 1 x 3∴ 直线 方程为 3 1 1 3 即直线 l的方程为 y 2x 5 ………………12分 21. 解：（1）因为平面 ABCD是菱形，所以 AC BD， 又因为OP 底面 ABCD，且 AC,BD 面 ABCD，所以OP AC，OP BD， 所以 AC， BD，OP两两垂直， 以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在的直线分别为 x轴、 y轴和 z轴，建立空间直角坐标系O ABP， 如图所示： ………………1分 因为OA 4，OB 3，OP 4，则 A(4,0,0),B(0,3,0),C( 4,0,0),D(0, 3,0),P(0,0, 4) 所以 PA (4,0, 4),DB (0,6 ... ...