第5章 导数及其应用 单元检测（含解析）

第5章 导数及其应用 单元检测 一、单选题 1．在区间上的最大值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．以下求导运算错误的是（ ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 3．函数的导数为( ) A． B． C． D． 4．已知函数及其导函数满足且.若恒成立，则（ ） A． B． C． D． 5．函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．已知是上的连续可导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 7．设函数＝cos(x＋φ)，其中常数φ满足－π<φ<0，若函数 (其中是函数的导数)是偶函数，则φ等于（ ） A．－ B．－ C．－ D． 8．已知定义在非零实数集上的函数满足：，且，，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（ ） A．在上最大值为2 B．有两个零点 C．的图像关于点对称 D．存在实数，使的图像关于原点对称 10．已知，函数的图象记为，的图象记为.则（ ） A．函数只有一个零点 B．与没有共同的切线 C．当时，曲线在曲线的下方 D．当时， 11．已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A． B． C． D． 12．已知函数有两个极值点，，则下列选项正确的有（ ） A． B．函数有两个零点 C． D． 三、填空题 13．已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为 . 14．若曲线过点的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是 . 15．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 16．已知函数（）.若存在，使成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 17．已知函数，若，恒成立，求实数的取值集合. 18．（1）已知函数. ①证明：恰有两个极值点； ②若，求的取值范围. （2）若时，关于的不等式恒成立，求实数的最大值. 19．如图①，有一块边长为a cm的正方形不锈钢薄板，现分别在正方形的四个顶点处各剪去一个全等的小正方形，然后将板材折成如图②所示的长方体无盖容器．设长方体的高为x cm，体积为，问x为何值时，V取得最大值？并求出这个最大值． 20．已知函数．若恒成立，求的值． 21．已知，. (1)求函数的增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围，并说明理由； (3)设正实数，满足，当时，求证：对任意的两个正实数，总有. (参考求导公式：) 22．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数a； (2)求证：． 参考答案： 1．B 【分析】对求导，根据正负得到的单调性，即可得出最大值． 【详解】，当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减；∴在区间上的最大值为． 故选：B． 2．B 【分析】根据导数运算确定正确选项. 【详解】，则，A正确. ，，B错误. ， ，C正确. ，，D正确. 故选：B 3．A 【分析】利用导数的四则运算和基本初等函数的导数，即可求解. 【详解】由题意，根据导数的四则运算可知： 函数的导数为， 故选：A. 4．D 【分析】构造函数，通过题意，可得函数的单调区间，以及, 从而可得，再通过分离参数，即可求解. 【详解】解：设，则， 当时，，当时， 在上单调递增，在上单调递减， ， 不等式可转化为， 该不等式恒成立， 则， 故选：D. 5．A 【分析】通过函数的奇偶性，，，可分别排除D，C，B，即得解 【详解】因为，所以是奇函数，排除D； 当时，，． 由，可排除C；，排除B 故选：A 6．B 【解析】由极值点的定义可以判定条件不能推结论，结论可以推条件，再由充分必要性的判定，即可判定答案. 【详解】因为是上的连续可导函数 条件中，只能说明是一个驻点，该点处两边的单调性不一定相异，所以不一定是极值点，故不可推出结论 结论中是函数的一个极值点，则该点处的导数必然，故可以推出条件 所以是必要不充分条件 故选：B 【点睛】本题考查函数中极值点的定义，还考查了充分必要条件的判定，属 ... ...