12.4 复数的三角形式 练习（含解析）

12.4 复数的三角形式 练习 一、单选题 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．设，，则（ ） A． B． C． D． 3．在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ） A． B． C． D． 4．欧拉公式（e为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则（ ） A． -1 B．1 C．- D． 5．已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（ ） A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 6．任意复数（，为虚数单位）都可以的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（ ） A． B． C． D． 7．复数的三角形式为（ ） A． B． C． D． 8．复数的辐角主值是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”———欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（ ） A． B． C．若复数的虚部为，，则的实部为 D．已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为 10．欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A．复数的值为 B．为纯虚数 C．复数的模长等于 D． 11．若m为实数，则复数在复平面内所对应的点可能在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．已知为复数，且为纯虚数，则（ ） A． B．的实部为0时， C．的最大值为3 D． 三、填空题 13．已知m∈R，复数z＝（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）（其中i为虚数单位），若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 14．复数，， ． 15．复数的幅角主值为 . 16．利用1的立方根，则8立方根是 ． 四、解答题 17．求复数的模与辐角． 18．已知，复数，i是虚数单位． （1）若复数z为纯虚数，求m的值； （2）若复数z在复平面内对应点A位于第二象限，求m的取值范围． 19．计算： （1）8(cosisin) 2(cosisin)； （2）[12(cosisin)]4； （3）(cos240°+isin240°) (cos60°+isin60°)； （4）. 20．已知，且，若． （1）求复数的三角形式，并且复数的辐角主值； （2）求． 21．已知复数（）： （1）若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求k的取值范围； （2）若复数,求复数的模？ 22．如图，已知平面内并列的三个全等的正方形，利用复数证明． 参考答案： 1．B 【分析】先对，然后再化为复数的三角形式可得答案 【详解】 所以 ， 故选：B 2．B 【分析】首先求，再求，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值. 【详解】，复数对应的点是，位于第三象限，且，所以. 故选：B 3．D 【分析】先将表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案. 【详解】由题意，得当时，，， ∴ ． ∵， ∴， 故选：D 4．A 【分析】根据题已知中欧拉公式，直接计算可得答案. 【详解】由题意得：， 故选：A 5．A 【分析】A. ii，所以该选项正确； B. i，所以该选项错误； C. i，所以该选项错误； D. ii.所以该选项错误. 【详解】A. 若i，则ii，所以该选项正确； B. 若i，则i，所以该选项错误； C. 若i，i，则i，所以该选项错 ... ...