专题2.1 数轴中的综合 【典例1】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 ； （2）点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数为 ． 【思路点拨】 （1）根据“联盟点”的定义，分别求出两点之间的距离，然后再进行判断即可； （2）①根据点P所处的位置，由不同的线段的倍数关系求出答案即可； ②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“联盟点”，点B是点A、点P的“联盟点”，点P是点A、点B的“联盟点”进行计算即可． 【解题过程】 解：（1）点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4， 当点C1所表示的数是3时， AC1＝5，BC1＝1，所以C1不是点A、点B的“联盟点”， 当点C2所表示的数是2时， AC2＝4，BC2＝2，由于AC2＝2BC2，所以C2是表示点A、点B的“联盟点”， 当点C3所表示的数是0时， AC3＝2，BC3＝4，由于2AC3＝BC3，所以C3是表示点A、点B的“联盟点”， 故答案为：C2或C3； （2）①设点P在数轴上所表示的数为x， 当点P在AB上时，若PA＝2PB，则x+10＝2（30﹣x），解得x， 若2PA＝PB时，则2（x+10）30﹣x，解得x， 当点P在点A的左侧时，由2PA＝PB可得2（﹣10﹣x）＝30﹣x，解得x＝﹣50， 综上所述，点P表示的数为或或﹣50； ②若点P在点B的右侧， 当点A是点P，点B的“联盟点”时，有PA＝2AB，即x+10＝2×（30+10）， 解得x＝70， 当点B是点A、点P的“联盟点”时，有AB＝2PB或2AB＝PB， 即30+10＝2（x﹣30）或2×（30+10）＝x﹣30，解得x＝50或x＝110； 当点P是点A、点B的“联盟点”时，有PA＝2PB，即x+10＝2×（x﹣30）， 解得x＝70； 故答案为：70或50或110． 1．（2022 烟台一模）如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，点P在数轴上对应的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5．则满足条件的P点对应的整数有几个（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 先根据数轴上两点的距离可得AB＝5，根据PA+PB＝5可知：P在A，B之间，从而得结论． 【解题过程】 解：∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2， ∴AB＝2﹣（﹣3）＝5， ∵点P在数轴上对应的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5， ∴P在A，B之间， ∴满足条件的P点对应的整数有：﹣2，﹣1，0，1，4个． 故选：D． 2．（2023秋 嘉鱼县期末）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2020厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（ ） A．2018或2019 B．2019或2020 C．2020或2021 D．2021或2022 【思路点拨】 分线段AB的端点与整点重合和不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度+1，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论． 【解题过程】 解：若线段AB的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若线段AB的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点． ∵2020+1＝2021， ∴2020厘米的线段AB盖住2020或2021个整点． 故选：C． 3．（2023秋 房山区期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．下面有四个推断：①如果ad＞0，则一定会有bc＞0；②如果bc＞0，则一定会有ad＞0；③如果bc＜0，则一定会有ad＜0；④如果ad＜0，则一定会有bc＜0．所有合理推断的序号 ... ...
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