第二章 专题09应用一元二次方程 同步学与练（含解析）2023-2024学年九年级数学上册北师大版

专题09应用一元二次方程（2个知识点4种题型1种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：列一元二次方程解应用题的一般步骤 知识点2：几种常见的一元二次方程应用题类型（重点） 【方法二】 实例探索法 题型1：列一元二次方程解“传播”问题 题型2：列一元二次方程解“利润”问题 题型3：列一元二次方程解“图形面积”问题 题型4：列一元二次方程解“动点”问题 【方法三】 仿真实战法 考法：一元二次方程的实际应用 【方法四】 成果评定法 【学习目标】 1．能根据具体问题的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理。 2．认识方程模型的重要性，掌握运用方程解决实际问题的一般步骤，提高分析问题、解决问题的能力。 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1．审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）； 2．设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）； 3．列（根据题目中的等量关系，列出方程）； 4．解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）； 5．验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6．答（写出答案，切忌答非所问）． 知识点2：几种常见的一元二次方程应用题类型（重点） 1：增长率问题 列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系．如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次． （1）增长率问题： 平均增长率公式为（a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量．） （2）降低率问题： 平均降低率公式为（a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量．） 【例1】（2023·湖南湘西·统考三模） 1．在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为，设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【变式】（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测） 2．今年五一“网红长沙”再次火出“圈”，27个旅游景区五天累计接待游客万人，成为全国十大必到城市之一．长沙美食也吸引了无数游客纷纷打卡，某网红火锅店五一期间生意火爆，第2天营业额达到10万元，第4天营业额为万元，据估计第3天、第4天营业额的增长率相同． (1)求该网红店第3，4天营业额的平均增长率； (2)若第1天的营业额为万元，第五天由于游客人数下降，营业额是前四天总营业额的，求该网红店第5天营业额． 2：面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程． 【例2】（2023·新疆喀什·统考三模） 3．为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【变式】（2022 德州） 4．如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地． (1)若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽； (2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为．求新的矩形绿地面积． 3：数字问题 （1）任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成．数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而 ... ...