2.2.3 一元二次不等式的解法 课件（共56张PPT）

(课件网) 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法 基础知识 情境与问题 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析交通事故的一个重要依据。 在一个限速为 40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了。事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过 6 m，乙车的刹车距离略超过 10 m，已知甲、乙两种车型的刹车距离 s m 与车速v km/h之间的关系分别为 s甲v －v， s乙v －v. 试判断甲、乙两车有无超速现象. 不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式 v －v＞6和_____, 即v －10v－600>0和_____. v －v＞10 v －10v－2000>0 一般地，形如 ax2+bx+c>0 的不等式称为一元二次不等式，其中 a，b，c是常数，而且a≠0。一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等。 如何求一个一元二次不等式的解集呢 让我们从简单的一元二次不等式开始探讨。首先来看一元二次不等式 x(x－1)>0. ① 尝试与发现 任意选定一些数，看它们是否是不等式①的解，由此给出解这个不等式的方法。 注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说，ab>0 当且仅当 a>0 b>0 a＜0 b＜0 或 因此，不等式①可以转化为两个不等式组 x>0 x－1>0 x＜0 x－1＜0 或 解得 x>1或x＜0，因此，不等式①的解集为 (－∞，0)∪(1，＋∞). 用类似的方法可以求得不等式 (x＋1)(x－1)<0 ② 的解，但此时的依据是：ab<0 当且仅当 或_____ a＜0 b＞0 a＞0 b＜0 因为不等式②可以转化为两个不等式组 x＋1＜0 x－1>0 x＋1＞0 x－1＜0 或 不难解得x∈ 或_____，因此不等式②的解集为 _____ －1＜x＜1 (－1，1) 一般地，如果 x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0 的解集是 (x1，x2), 不等式 (x－x1)(x－x2)>0 的解集是 (－∞，x1)∪(x2，＋∞). 典例精析 例1 求不等式x －x－2>0 的解集. 解：因为 x2－x－2=(x＋1)(x－2), 所以原不等式等价于 (x＋1)(x－2)>0，因此所求解集为 (－∞，－1)∪(2，＋∞). 回到情境与问题中的不等式，v2－10v－600>0 可以化为 (v＋20) (v－30)＞0， 因此甲车的车速v＞30；而v2－10v－2 000>0可以化为 _____， 因此乙车的车速_____。由此可见，乙车肯定超速了。 上述我们介绍的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解。当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢 (v＋40) (v－50)＞0 v＞50 尝试与发现 通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法: (1) x2＜－1； (2) x2>－2； (3) x2 <9. 因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中(1)的解集为_____，(2)的解集为_____ 对于x <9 来说，两边同时开根号可得 < ，即 | x | < 3， 因此－30. 解：(1)因为 x ＋4x＋1= x ＋4x＋4－4＋1=(x＋2)2－3， 所以原不等式可化为 (x＋2)2－3 ≥ 0，即 (x＋2)2≥3， 两边开平方得| x＋2 | ≥ ，从而可知 x＋2 ≤－ 或 x＋2 ≥ ， 因此x≤－2－或x ≥－2+，所以原不等式的解集为 (－∞，－2－]∪[－2＋，＋∞). (2)因为 x2－6x－1=x2－6x＋9－9－1=(x－3)2－10. 所以原不等式可化为 (x－3)2 －10 ≤ 0，即 (x－3)2 ≤ 10， 两边开平方得 | x－3 | ≤ ，从而可知 － ≤ x－3 ≤， 因 ... ...