1.1数列的概念及其函数特性 练习（含解析）-2023-2024学年高中数学北师大版（2019）选择性必修2

1.1数列的概念及其函数特性 练习 一、单选题 1．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，该数列满足递推关系：，．已知数列为“斐波那契”数列，为数列前项的和，若，则（ ） A． B． C． D． 2．我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的第56项为（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（ ） A．4 B．7 C．16 D．31 4．记数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 5．数列满足，若，则 A． B． C． D． 6．数列满足，且，则数列的前2024项的和（ ） A． B． C． D． 7．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有甲、乙两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在这星期一选甲种菜的，下星期一会有改选乙种菜；而选乙种菜的，下星期一会有改选甲种菜.用，分别表示在第个星期一选甲的人数和选乙的人数，如果，则（ ） A．200 B．300 C．380 D．400 8．某数列前10项是，按此规律推理，该数列中奇数项的通项公式可以是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为，则 （ ） A． B．是奇数 C． D． 10．已知数列满足，，设数列的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 11．若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互素，欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数k，且与k互素的正整数的个数，例如：，，，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互素，那么，则（ ） A． B． C．数列不是递增数列 D．数列的最大项为第4列 12．已知数列，则下列说法正确的是（ ） A．此数列的通项公式是 B．是它的第项 C．此数列的通项公式是 D．是它的第项 三、填空题 13．若数列满足，则 ． 14．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量（万件）近似地满足关系式，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 . 15．已知数列，，，,…，则是该数列中的第 项． 16．已知递减数列满足，则的通项公式可以是_____． 四、解答题 17．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 18．已知数列 的前n项和 满足. （1）求数列的通项公式； （2）证明：对任意的整数，都有 19．求证：对于正整数n，令，数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（表示不超过实数x的最大整数）． 20．已知数列的通项公式为，判断这个数列是递增数列还是递减数列. 21．根据数列的通项公式，写出它的前5项及第项： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．观察下面各数列，试着找出它的一个通项公式： (1)2，4，2，4，…； (2)9，99，999，9999，…： (3)，，，，…． 参考答案 1．D 【分析】根据递推关系求得. 【详解】， ， ， …… 以此类推，. 故选：D 2．B 【分析】由题意可知，去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数构成一个首项为1，公差为1的等差数列，求解即可. 【详 ... ...