2024华东师大版数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练(五)圆中辅助线的作法（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024华东师大版数学九年级下学期 专项素养综合全练(五) 圆中辅助线的作法 类型一　遇弦添加弦心距或半径 1.【构造等腰三角形】(2023山东聊城中考)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连结OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为(　　) A.15°　　　　B.17.5°　　 C.20°　　　　D.25° 2.【构造等腰直角三角形】【最值问题】(2023四川乐山中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x-2与x轴、y轴分别交于A、B两点,C、D是半径为1的☉O上两动点,且CD=,P为弦CD的中点.当C、D两点在圆上运动时,△PAB面积的最大值是(　　) A.8　　　　B.6　　 C.4　　　　D.3 3.(2023四川广安中考)如图,△ABC内接于☉O,圆的半径为7,∠BAC=60°,则弦BC的长度为　　　　. 类型二　遇直径构造直径所对的圆周角 4.【一题多解】(2022江苏苏州中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,连结AC,AD.若∠BAC=28°,则∠D=　　　　°. 5.【A字模型】(2022内蒙古呼和浩特中考)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,交线段CA的延长线于点E,连结BE. (1)求证:BD=CD; (2)若tan C=,BD=4,求AE的长. 6.(2023吉林长春宽城模拟)如图,AB是☉O的直径,D,E为☉O上位于AB异侧的两点,连结BD并延长至点C,使得CD=BD,连结AC交☉O于点F,连结AE,DE,DF. (1)求证:∠CFD=∠C; (2)若∠E=50°,求∠BDF的度数; (3)设DE交AB于点G,若DF=6,cos B=,∠BDE=45°,求EG·ED的值. 类型三　遇切线连结圆心和切点 7.(2023湖北武汉中考)如图,在四边形ABCD中, AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD长为半径的弧恰好与BC相切,切点为E.若=,则sin C的值是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 8.(2023浙江嘉兴中考)如图,点A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在上.已知∠A=50°,则∠D的度数是　　　　. 9.【子母模型】(2023江苏无锡中考)如图,AB是☉O的直径,CD与AB相交于点E.过点D的切线DF∥AB,交CA的延长线于点F,CF=CD. (1)求∠F的度数; (2)若DE·DC=8,求☉O的半径. 答案全解全析 1.C　如图,连结OC,∵点I是△ABC的内心,∴AI平分∠BAC,∵∠CAI=35°,∴∠BAC=2∠CAI=70°,∵点O是△ABC外接圆的圆心,∴∠BOC=2∠BAC=140°,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=×(180°-∠BOC)=×(180°-140°)=20°. 2.D　如图,作OQ⊥AB于点Q,连结OP、OD、OC,∵CD=,OC=OD=1,∴OC2+OD2=CD2,∴△OCD为等腰直角三角形,由y=-x-2得点A(-2,0)、B(0,-2),∴OA=OB=2,∴△OAB为等腰直角三角形,∴AB=2,OQ=,由题意得当P、O、Q共线,且点O在线段PQ上时,S△ABP最大,∵P为CD中点,∴OP=,∴PQ=OP+OQ=,∴S△ABP的最大值=AB·PQ=3. 方法解读　在几何问题中,最常见的便是关于一些面积、长度和体积方面的最值问题,通常涉及三角形、四边形和圆等,对于圆,需要用到与圆有关的特征和公式,如半径、直径、周长和面积等. 3.7 解析　作OD⊥BC于点D,连结OB,OC,如图所示,∵∠BAC=60°,∴∠BOC=2∠BAC=120°,∵OD⊥BC,OB=OC,∴∠BOD=60°,BD=CD,∴BD=BO·sin∠BOD=7×sin 60°=7×=,∴BC=2BD=7. 4.62 解析　(解法一)如图,连结BC.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-∠CAB=62°,∴∠D=∠ABC=62°. (解法二)如图,连结OC,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=28°,∴∠AOC=180°-28°-28°=124°,∴∠D=∠AOC=×124°=62°. 5.解析　(1)证明:如图,连结AD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°, 又∵AB=AC,∴BD=CD. (2)∵BD=DC=4,∴BC=DB+DC=8,在Rt△ADC中,tan C==,∴AD=CD·tan C=4×=2,∴AC===2,∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,∵∠AEB=∠ADC=90°,∠C=∠C,∴△CEB∽△CDA,∴=,∴=,∴CE=,∴AE=CE-AC=,∴AE的长为. 6.解析　(1)证明:如图,连结AD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∵CD=BD,∴AD垂直平分BC,∴AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠B=∠AED,∴∠AED=∠C,∵ ... ...