数学奥赛辅导--（奇数、偶数、质数、合数）专题

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 数学奥赛辅导--（奇数、偶数、质数、合数）专题 知识、方法、技能 Ⅰ.整数的奇偶性 将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m（m∈Z），任一奇数可表为2m+1或2m－1的形式.奇、偶数具有如下性质： （1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数； 奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数； 奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数； （2）奇数的平方都可表为8m+1形式，偶数的平方都可表为8m或8m+4的形式（m∈Z）. （3）任何一个正整数n，都可以写成的形式，其中m为非负整数，l为奇数. 这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题. Ⅱ.质数与合数、算术基本定理 大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类. 一个大于1的整数，如果除了1和它自身以外没有其他正因子，则称此数为质数或素数，否则，称为合数. 显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数. 定理：（正整数的惟一分解定理，又叫算术基本定理）任何大于1的整数A都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而A可以写成标准分解式： （*）. 其中为质数，为非负整数，i=1，2，…，n. 【略证】由于A为一有限正整数，显然A经过有限次分解可分解成若干个质数的乘积，把相同的质因子归类整理可得如（*）的形式（严格论证可由归纳法证明）.余下只需证惟一性. 设另有为质数，为非负整数，j=1，2，…，m.由于任何一必为中之一，而任一也必居中之一，故n=m.又因 ，再者，若对某个i，（不妨设），用除等式两端得： 此式显然不成立（因左端是的倍数，而右端不是）.故对一切i=1，2，…，n均成立.惟一性得证. 推论：（合数的因子个数计算公式）若为标准分解式，则A的所有因子（包括1和A本身）的个数等于（简记为） 这是因为，乘积 的每一项都是A的一个因子，故共有个. 定理：质数的个数是无穷的. 【证明】假定质数的个数只有有限多个考察整数由于且又不能被除尽，于是由算术基本定理知，a必能写成一些质数的乘积，而这些质数必异于，这与假定矛盾.故质数有无穷多个. 赛题精讲 例1．设正整数d不等于2，5，13.证明在集合｛2，5，13，d｝中可以找到两个元素a,b，使得ab－1不是完全平方数. （第27届IMO试题） 【解】由于2×5－1=32，2×13－1=52，5×13－1=82，因此，只需证明2d－1，5d－1，13d－1中至少有一个不是完全平方数. 用反证法，假设它们都是完全平方数，令 2d－1=x2 ① 5d－1=y2 ② 13d－1=z2 ③ x,y,z∈N* 由①知，x是奇数，设x=2k－1，于是2d－1=（2k－1）2，即d=2k2－2k+1，这说明d也是奇数.因此，再由②，③知，y,z均是偶数. 设y=2m,z=2n,代入③、④，相减，除以4得，2d=n2－m2=(n+m)(n－m)，从而n2－m2为偶数，n，m必同是偶数，于是m+n与m－n都是偶数，这样2d就是4的倍数，即d为偶数，这与上述d为奇数矛盾.故命题得证. 例2．设a、b、c、d为奇数，，证明：如果a+d=2k，b+c=2m，k,m为整数，那么a=1. （第25届IMO试题） 【证明】首先易证：从而 （因为，于是 再由，得 因而 ① 显然，为偶数，为奇数，并且只能一个为4n型偶数，一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数，然而它们的差等于2a不是4的倍数）， 因此,如果设，其中e,f为奇数，那么由①式及的特性就有 （Ⅰ）或（Ⅱ） 由，得e=1，从而 于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分别变为或 解之，得.因a为奇数，故只能a=1. 例3．设是一组数，它们中的每一个都取1或－1，而且a1a2a3a4+a2a3a4a5+…+ana1a2a3=0，证明：n必须是4的倍数. （第26届IMO预选题） 【证明】由于每个均为1和－1，从而题中所给的等式中每一项也只取1或－1，而这样的n项之和等于0，则取1或－1的个数必 ... ...