(课件网) 24.3正多边形和圆 （第1课时）正多边形的相关概念 2023—2024学年人教版数学九年级上册 1．正三角形____条边都相等，_____个角都相等． 2．正方形____条边都相等，____个角都相等． 3．_____的多边形是正多边形． 4．正多边形是_____图形；当边数为偶数时，正多边形也是_____图形． 5．圆既是_____图形又是_____图形． 三 三 四 四 各边相等、各角也相等 轴对称 中心对称 轴对称 中心对称 观察这些图片，你看到了哪些正多边形？ 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． ······ 以正五边形为例，把 ⊙O 分成相等的 5 段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE． 如何证明这个五边形是圆内接正五边形呢？ 如图，把⊙O 分成相等的 5 段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE． ∴五边形ABCDE是⊙O 的内接正五边形． 正 n 边形呢？ 证明：∵ ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA， (n－2) ∴∠A＝∠B， 同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E． ． 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O 上， A B C D E O 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 正多边形的相关概念 半径 R O 边心距 r 中心角 圆中的元素和正多边形有什么关系呢？ 找出下列正多边形的中心 O，并标出正多边形的半径 R、边心距 r、中心角 α． O O R r R r α α ∟ ∟ 找出下列正多边形的中心 O，并标出正多边形的半径 R、边心距 r、中心角 α． （1）各边相等的多边形是正多边形吗？ 解：如图，菱形的各边相等，但是各角不相等，所以菱形不是正多边形，即各边相等的多边形不一定是正多边形． （2）各角相等的多边形是正多边形吗？ 解：如图，矩形的各角相等，但是各边不相等，所以矩形不是正多边形，即各角相等的多边形不一定是正多边形． 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？ 解：以四边形为例． 已知：四边形ABCD内接于⊙O，且AB＝BC＝CD＝DA． 求证：四边形ABCD是正四边形． A D B C O 证明：如图，四边形ABCD内接于⊙O ． 同理，∠B＝∠C＝∠D， ∴四边形ABCD是正四边形． 各边相等的圆内接 n 边形是正 n 边形． ∵AB＝BC＝CD＝DA， ∴ ∴ ， ． (n－2) ∴∠A＝∠B， A D B C O 各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？ 解：如图，矩形ABCD内接于⊙O ， ∴各角相等的圆内接四边形不一定是正四边形， A B C D O 其中∠A＝∠B＝∠C＝∠D． ∵AB≠AD， 即各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形． 解：由题意，画出示意图如图所示． 由题意，得中心角∠BOC＝ ＝120°， 在Rt△OBD中，边心距OD＝ R ． 正多边形的相关计算 OB＝OC＝R， ∴∠OBC＝30°． 例1 已知正三角形的半径为 R，求它的边长、边心距和面积． A B C O D R ∟ ∴边长 ∴ 正多边形的相关计算 根据勾股定理，得 BD＝ R ， BC＝2BD＝ R ． ． A B C O D R ∟ 例2 已知半径为 R 的圆内接正方形，求该正方形的边长、边心距和面积． 解：由题意，画出示意图如图所示． 由题意，得∠AOB＝ ＝90°，OA＝OB＝R， ∴∠OAB＝45°， ∴AC＝OC． A O B C ∟ R 在Rt△OAC中，根据勾股定理，得边心距OC＝AC＝ R． ∴边长AB＝ R． ． ∴面积S＝ ＝ 1．正 n 边形的角的有关计算: 2．正 n 边形的边心距、周长及面积的计算: 如图，设正 n 边形的边长为 a，外接圆半径为 R，则 中心角＝ 边 ... ...
