衡阳县第四中学2023-2024学年上学期期中测试 高二数学试卷（A卷） （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1、与向量平行的一个向量的坐标为( ) A. B. C. D. 2、若直线与直线垂直，垂足为，则( ) A.-6 B.4 C.-10 D.-4 3、过点作圆的弦，其中弦长为整数的弦共有( ) A.16条 B.17条 C.32条 D.34条 4、攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.如图，在重檐四角攒尖中，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的倍，则侧面与底面所成角的大小为( ) A. B. C. D. 5、已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，E为的中点，则点到平面BDE的距离为( ) A. B.2 C. D. 6、已知椭圆，焦距为2c，以原点O为圆心，b为半径作圆O.若过点作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且，则椭圆C的离心率为( ) A. B. C. D. 7、数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1.如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1.对任意正整数，记按照上述规则实施第n次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为( ). A.3 B.4 C.5 D.6 8、已知为等差数列的前项和，若则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分；漏选记2分，错选记0分） 9、设，圆与圆的位置关系不可能是（ ） A.内切 B.相交 C.外离 D.外切 10、对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值"，k是数列的“谷值点”，在数列中，若，则下列数不能作为数列的“谷值点”的是( ) A.3 B.2 C.7 D.5 11、给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算：.规定： ①为同时与a，b垂直的向量； ②a，b，三个向量构成右手系（如图1）； ③. 如图2，在长方体中中，，，则( ) A. B. C. D. 12、抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射山.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D.与之间的距离为4 三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13、已知空间向量,则_____. 14、已知圆经过点且圆心在y轴上，圆内切于圆，圆与x轴分别交于A，B两点（点A在点B左侧），则直线AC截圆所得的弦长为_____. 15、已知某椭圆的方程为，上顶点为A，左顶点为B，设P是椭圆上的任意一点，且面积的最大值为，若已知，，点Q为椭圆上的任意一点，则的最小值为_____. 16、如图，圆锥的底面直径，高，D为底面圆周上的一点，，则直线AD与BC所成角的大小为_____. 四、解答题（本题共6小题，共70分） 17、（本小题共10分）如图，在平行四边形OABC中，，. (1)求AB所在直线的方程； (2)过点C作于点D，求CD所在直线的方程. 18、（本小题共12分）已知等差数列， （1）求的通项公式 （2）求数列的前项和为 19、（本小题共12分）已知圆,直线 1.当直线与圆相交,求的取值范围; 2.当直线与圆相交于两点,且时,求直线的方程 20、（本小题共12分）已知抛物线与直线相交于A，B两点，O是坐标原点. （1）求证：； （2）当的面积等于时，求k的值. 21、（本小题共12分）某商品的包装纸如图1所示，四边形是边长为3的菱形，且，，.将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N重合，记为点P，恰好形成如图2所示的四棱锥形的包装盒. （1）证明：平面； （2）设T为边上的一点，且二面角的正弦值为，求与平面所成角的正弦值. 22、（本小题共12分）已知椭圆经过点，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的 ... ...
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